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Siehe dazu auch unter Regelungstechnik

Proportional-Integral-Differenzial-Regler

Dieser Reglertyp ist weit verbreitet und in der Folge soll einmal versucht werden, aus einer energetischen Sicht seine Funktionsweise zu erklären. Üblich ist die Signalsicht.

Reale Systeme werden oft idealisiert betrachtet, um überhaupt in der Lage zu sein, sie zu beschreiben. Man darf aber nur solche Idealisierungen treffen, die den Charakter der Anordnung erhalten. Andernfalls kommt es zu Widersprüchen, die dann oft in heiße Diskussionen ausarten.

Dies soll an einem Beispiel erläutert werden:

Man denke sich zwei identische, ideale Kondensatoren der Kapazität 1, die durch einen ebenfalls idealen Schalter miteinander verbunden sind. Der Schalter ist offen, ein Kondensator ist entladen, der andere hat die Spannung 1 und damit auch die Ladung 1. Die Ladungsenergie ist 1/2 C U² und somit gleich 1/2. Nun wird der Schalter geschlossen, die Ladung verteilt sich auf beide Kondensatoren, die Spannung halbiert sich. Damit ist die Energie eines jeden Kondensators gleich 1/2 * 1 * (1/2)² gleich 1/8, die Energie beider Kondensatoren also 1/4. Kondensatoren und Schalter sind ideal, ohne Verluste. Wo ist die Hälfte der Energie hin verschwunden? Ein Verstoß gegen den Satz von der Energieerhaltung?

Dieses "Gedankenexperiment" führt zu heftigen Diskussionen in der Gemeinde.


Der proportionale Fall.

Was ist eigentlich "proportional"? Die Proportionalität ist aus "proportio", das Ebenmaß, das entsprechende Verhältnis entlehnt. Doch was steht womit im Verhältnis?

In der Mathematik gibt es ein reines Zahlenverhältnis: A ~ B Würde man nun einfach für A und B je eine Zahl einsetzen, etwa 3 ~ 5, so wäre dies zwar korrekt, aber doch verwirrend, weil sinnlos! Also steht A und B nicht für je eine Zahl, sondern stellvertretend für alle Zahlen, die eine bestimmte Bedingung erfüllen: das Verhältnis der beiden Zahlen ist eine dritte, konstante Zahl


Aus diesem Verhältnis kann man eine Gleichung machen: A / B = c

In der physischen Realität gibt es jedoch keine Zahlen an sich, sondern nur abzählbare Objekte. Diese Objekte können von einer bestimmten Charakteristik sein und eine Anzahl oder ein Größenmaß haben. Oder aber, sie haben eine unterschiedliche Charakteristik.

Ist Kraft oder Weg ein Objekt? Ja, in diesem besprochenen Sinn. Wenn wir von physischen Objekten reden, denken wir normalerweise an materielle Körper. Spätestens seitdem Licht als aus Teilchen zusammengesetzt betrachtet wird, kennt die Physik auch Objekte, die keine Masse haben und so ist der Objektbegriff verallgemeinert.

Wir dürfen also folgende Objekte zueinander ins Verhältnis setzen:

   Kraft ~ Weg
   Spannung ~ Fehler 

und sagen damit, dass sich die Maßzahl der ersten Größe entsprechend der der zweiten verändert, damit bleibt das Verhältnis der Maßzahlen konstant, es ist der Proportionalitätsfaktor. Gleichzeitig sorgt der Proportionalitätsfaktor auch dafür, dass die Dimensionen der Größen aufeinander angepasst sind. Denn man kann nicht eine Kraft mit einem Weg vergleichen, man kann nur die Maßzahl der Kraft mit der Maßzahl des Weges vergleichen! Diese Unterscheidungen sind von grundlegender Bedeutung. Ohne sie sich zu verdeutlichen, bleibt das Verstehen oft auf der Strecke. Und etwas zu verstehen schadet in der Regel nicht.

Bleiben wir nun beim Beispiel Kraft und Weg für die Erläuterung, was denn eigentlich der Knackpunkt einer solchen Proportionalität ist.

Gehen wir davon aus: der aktuelle Weg hat die Koordinate 0 und die aktuelle Kraft ebenfalls. Genauer gesagt: die aktuelle Wegkoordinate ist die Sollkoordinate, die Abweichung vom Sollwert ist Null. Ebenso ist lediglich die Summe aller aktuell wirkenden Kräfte Null. Es können sehr wohl Kräfte existieren, die sich jedoch gegenseitig exakt kompensieren. Nun müssen wir klären, wovon wir eigentlich reden: was hat da die Abweichung und die Kraft Null? Damit es überhaupt an einem Ort ist, muss es etwas Körperliches sein. Damit eine Kraft darauf wirken kann, muss es eine Masse haben! Das erste erscheint klar. Das zweite nicht so direkt.

Nehmen wir an, wir hätten einen idealen Körper, das heißt, er hat alle irgendwie denkbaren positiven Eigenschaften. Und keine Massenträgheit, denn die ist zuerst einmal störend.

Was würde passieren? Die kleinste auf die Masse einwirkende Kraft würde eine unendliche Beschleunigung bewirken und in der Folge eine unendliche Geschwindigkeit. Und das wäre auf jeden Fall unerwünscht. Also ist die Massenträgheit keine negative Erscheinung eines Körpers, sondern eine unabdingbare Voraussetzung für seine "sinnvolle" Existenz.

Jetzt haben wir wahrscheinlich alles zusammen, um darüber nachzudenken, was das Ganze denn vielleicht mal irgendwann mit einem PID-Regler zu tun hat.

Unsere bisherige Regel war: ein Körper wird um eine Strecke x ausgelenkt und es existiert eine zur Auslenkung proportionale Kraft F= -c*x entgegen der Auslenkung. Unter energetischer Sicht bedeutet dies: in dem System ist eine Energie 1/2 cx² gespeichert. Nur was bedeutet: Energie im System gespeichert?

Energie gespeichert

Eine klassische Art, Energie zu speichern, ist das Hochheben einer Masse im Schwerefeld der Erde, die "potenzielle Energie". Schon der Begriff zeigt, dass in der Vergangenheit (und teilweise auch noch heute) Energie nicht so richtig greifbar war oder ist. Man redet von der potenziellen Energie dieser Masse und das Gravitationsfeld ist etwas "Vorhandenes", über dessen Herkunft man sich keine Gedanken macht. Wenn wir nun aber einen Regler betrachten, so ist der in sich abgeschlossen und wir müssen uns über alle Aspekte Gedanken machen.

Betrachten wir also unser zu regelndes Objekt und ordnen wir ihm eine Masse zu. Der Regler selbst sorgt dafür, dass eine wegproportionale Kraft existiert und, das ist damit gleichbedeutend, dass er die Energie abgeben oder zurücknehmen kann, die mit der Kraft und der sich daraus ergebenden Bewegung verbunden ist. Denn etwas kann nicht passieren: Es kann nicht passieren, dass der Regler auf das Objekt eine Kraft auswirkt, ohne dass das Objekt sich bewegt. Na ja, die Aussage ist zu korrigieren: ohne dass das Objekt seinen "Bewegungszustand" ändert, sich also beschleunigt! Es ist also zwangsläufig mit der Kraft eine Energieänderung verbunden.

Wie kann man nun einen solchen Regler bauen? Ganz einfach! Man nimmt eine Feder und hängt sie an die gewünschte Nullposition und die zu regelnde Größe "Masse" an. Sobald nun die Masse nicht am Nullpunkt ist, besteht eine zur Abweichung, dem "Fehler" proportionale Kraft, die die Masse zum Nullpunkt zurücktreibt.

Normalerweise wird man nicht sagen, dass eine an einer Feder aufgehängte schwingende Masse einen P-Regler darstellt. Und genau so wenig umgekehrt. In der Tat ist das aber genau der Fall. Und damit haben wir eine wichtige Konsequenz: Ein P-Regler kann nicht schwingen, er schwingt! Ein P-Regler ist ein Energiespeicher und genau dann in Ruhe, wenn er die Energie Null speichert. Ansonsten wir der Energieinhalt kontinuierlich von einer in eine zweite Form überführt und zwar so, dass die Energie erhalten bleibt. Das Vorhandensein der Energie äußert sich in einer oszillierenden Regelabweichung. Ist der Energieinhalt und damit der Fehler Null, so wirkt keinerlei Kraft, eine Störung kann also nicht "ausgeregelt" werden.

Wenn keine Kraft wirkt, dann bedeutet das nicht, dass keine Kraft vorhanden ist. Es bedeutet lediglich, dass alle einwirkenden Kräfte sich zu Null addieren.

So können wir uns ein einfaches Beispiel durchdenken: Ein Masse an Feder (P-Regler) ist im Energiezustand 0. Nun tritt eine konstante äußere Kraft auf. Diese Kraft beschleunigt die Masse mit einer Beschleunigung. Daraus entsteht eine Auslenkung und diese wiederum hat die rückstellende Kraft zur Folge. Die wirksame Kraft nimmt ab, die Beschleunigung ebenso, die Zunahme der Auslenkung ebenfalls und das so lange, bis die äußere Kraft gleich der rückstellenden Kraft ist. Zu diesem Zeitpunkt hat die Masse die größte Geschwindigkeit erreicht und es ist durch die äußere Kraft eine bestimmte Menge (1/2 mv²) Energie in das System eingespeist worden. In der Folge wird nun eine Schwingung um diese Gleichgewichtslage der Kraft stattfinden. Wir haben also genau die gleiche Situation, die wir auch in der Nulllage hätten, mit der gleichen Energiemenge. Der Unterschied ist lediglich die Lage der Schwingung.

Ein P-Regler kann also nicht schwingen, er MUSS schwingen. Denn wenn keine Störung und keine Energie da ist, kann man ja auch nicht wissen, dass da ein P-Regler ist.

Wenn man die Überlegungen nochmal nach vollzieht, kann folgendes auffallen: Wir sind davon ausgegangen, das System war bei Null ohne Energie und ohne Störkraft und dann wird eine konstante Kraft eingeschaltet, die dann zur Schwingung um eine Gleichgewichtslage führt. Würde die Kraft nicht momentan anwachsen, sondern sehr langsam auf den Endwert zunehmen, würde die Gleichgewichtslage später erreicht und die Bewegungsenergie wäre auch deutlich geringer. Die Schwingung des P-Reglers hätte eine viel kleinere Amplitude. Es ist also entscheidend für die Qualität der Regelung, dass die gesamte Energie als potenzielle Energie vorhanden ist und die kinetische Energie soll Null sein.

Nun sorgt aber eine Störkraft dafür, dass sich die Masse bewegt und wir haben keine Kraft, die die Energie wieder aus dem System herausholt.

Wollen wir die Schwingung unterdrücken, müssen wir also eine Möglichkeit finden, Energie aus dem System wieder herauszuholen.