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Vorwort

Allgemein

Wenn man einen Roboter plant, stellt man sich häufig die Frage, wie stark die Motoren sein müssen. Sind sie zu schwach, dann kommt der Roboter nicht von der Stelle. Sind sie sie jedoch zu stark, dann verpulvert man unnötig Energie und verringert dadurch die Fahrzeit. Es gibt zwar etliche Überschlagsrechnungen, doch leider blieb dem Roboterbauer bis jetzt eine genaue Berechnung vorenthalten. Dieser Artikel versucht das Problem möglichst genau zu behandeln.

Technische Informationen

Zum Berechnen der Motorkraft muss man erst einige Reibungen und Widerstände kennenlernen. Diese werden nun im Folgenden beschrieben. Man muss nicht jede Kraft berechnen, einige Kräfte kann man auch mit einem Pauschalzuschlag unter den Tisch fallen lassen. Ein Beispiel: Luftwiderstand von einer Schnecke. Sicherlich darf man aber den Luftwiderstand bei einem Rennwagen nicht unterschlagen. Ich hoffe, ihr versteht, was ich sagen will.

Bewegungsreibungen

Darunter fallen Haft-, Gleit- und Rollreibung. Diese sind von der Geschwindigkeit unabhängig. Wichtig: Sollte sich der Roboter an einer Schräge befinden, berechnet sich die Reibung noch mit dem Koeffizienten cos(alpha). Alpha ist hierbei der Steigungswinkel. Mehr siehe dazu bitte Steigung/Gefälle.

Haftreibung

Die Reibung, die auftritt, wenn ein Körper ohne Räder steht. Sie berechnet sich aus: [math]F=fh*m*g[/math]

  • F: Kraft in N
  • fh: Reibungskoeffizient (Haftreibung), typisch 0,2 bis 0,6
  • m: Masse des Roboters in kg
  • g: Ortsfaktor (ca. 10N/kg bzw. 10m/(sec^2))

Ortsfaktor g entspricht der Erdanziehungskraft bzw. Fallbeschleunigung, etwa 9,81m/s². Es reicht aber für gewöhnlich mit 10m/s² zu rechnen. Der Reibungskoeffizient ist von beiden beteiligten Materialien abhängig [1].

Die Haftreibung wird etwa gebraucht, um zu berechnen, wie viel Kraft nötig ist um ein Hindernis weg zu schieben. Der andere Punkt wo die Haftreibung wichtig ist, das sie bestimmt wann die Räder beginnen durch zu drehen, bzw. welche Kraft maximal über die Räder übertragen werden kann. Hier muss dann ggf. dafür gesorgt werden das die Reibungskoeffizienten genügend groß werden (z.B. Gummiräder) und genügend Gewicht auf den Antriebsrädern ist.

Mehr Kraft als nötig ist, um die Räder durchdrehen zu lassen braucht man in der Regel nicht. Damit erhält man eine relativ einfach zu berechnende obere Grenze für die sinnvolle Motorkraft. Wenn es um einen möglichst schnellen Bot geht, kann man hier schon fast aufhören und den Motor nach der Reibkraft der Räder auslegen.

Gleitreibung

Wird zum Beispiel bei Robotern mit 2 Rädern (z.B. Asuro) benötigt, wo statt eines dritten Rades ein Gleiter benutzt wird. Wie die Haftreibung oben, muß hier nur der über den Gleiter übertragene Teil des Gewichts berüchsichtigt werden. Der Gleitreibungskoeffizient ist normalerweise etwas kleiner als der Haftreibungskoeffizient.

[math]F=fg*m*g[/math]

  • fg: Reibungskoeffizient (Gleitreibung)

Rollreibung

Wie der Name schon sagt, tritt diese Kraft auf, wenn Räder oder Rollen benutzt werden. Streng genommen müßte auch hier zwischen Stillstand und Fahren unterschieden werden. Diese errechnet sich folgendermaßen. [math]F=fr*m*g[/math]

  • fr: Reibungskoeffizient (Rollreibung)

Beschleunigung

Für das Anfahren muss man die benötigte Beschleunigung und die dazu nötige Kraft wissen.


Benötigte Beschleunigung berechnen

Die Beschleunigung wird mit a (engl.: acceleration) bezeichnet. Sie hat die Einheit m/(sec^2). Diese muss man zuerst ermitteln.

Man kann diese anhand der Geschwindigkeit erechnen:

Dabei gilt: [math]v=a*t[/math].

  • v: Geschwindigkeit in m/sec (nach t Sekunden)
  • t: die Zeit in sec.

Beispiel: Der Roboter soll in 10 Sekunden aus dem Stand (= 0 m/s) auf 25km/h (entspricht ca: 6,94 m/s) beschleunigen können. Wenn wir die Formel umstellen erhalten wir: a = v / t also ist a = 6,94m/s / 10s = 0,694m/s². Soll der Roboter bereits nach 1 Sekunde auf 25km/h beschleunigen, wäre entsprechend eine nötige Beschleunig a = 6,94m/s / 1s = 6,94m/s².


Auch kann man diese anhand der zurückgelegten Strecke ermitteln:

Dabei gilt: s=0.5*t^2*a.

  • s ist die Strecke in m (nach der Zeit t)
  • t die Zeit in Sekunden.

Wichtig: Geschwindigkeiten für die Berechnungen immer in m/s (Meter pro Sekunde) umrechnen, da man sonst schnell Probleme mit den Formeln bekommt. Die Umrechung ist einfach: 3,6 km/h = 1 m/s (d.h. von km/h in m/s einfach durch 3,6 dividieren, in die Rückrichtung mit 3,6 multiplizieren; diese Berechung ist exakt, also keine Schätzung).


Kraftberechnung

Hat man nun die Beschleunigung a ermittelt, kann man die benötigte Kraft über F=m*a errechnen. Vorausgesetzt wird, dass die Masse konstant bleibt. Das würde also für Roboter mit Raketenantrieb z.B nicht funktionieren. Genauso wäre die Kraft unterschiedlich, wenn der Roboter gerade etwas transportiert.

Merke: "Kraft ist Masse mal Beschleunigung"


Die Einheit der Kraft ist Newton und wird mit "N" abgekürzt: 1 N = 1 kg · m / s². Oft werden auch Werte in mN (milli-Newton = 0.001 Newton) angegeben.

Achtung: mN (milli-Newton) bitte nicht mit Nm (Newton-Meter) oder mNm (milli-Newton-Meter) verwechseln. Das sind andere Werte und beziehen sich auf das Drehmoment!!!

Bremskraft

Das Gleiche gilt auch für das Bremsen, nur dass hier Energie freigesetzt wird. Denn die Reifen darf man nicht zu sehr blockieren, sonst überschreitet man die [#Haftreibung] und der Roboter rutscht. Die Kraft F kann man in diesem Fall durch [math]F=p/t[/math] nehmen. P ist der Impuls und t die Zeit. Ein Impuls ist das Produkt aus Masse mal Geschwindigkeit. Also: [math]P=m*v[/math]. Das setzt man nun in die Gleichung ein und erhält: [math]F=(m*v)/t[/math]. Alternativ kann man die Bremskraft aus [math]F=m*a[/math] errechnen. Überschreitet nun die errechnete Kraft F die Haftreibung, rutscht euer Roboter garantiert.

Steigung/Gefälle

Steigung

Wenn man einen Berg hochfährt muss man neben der Reibung auch noch die Erdanziehungskraft überwinden. Bei Steigungen gibt es grundlegend 2 Kräfte.

  • Normalkraft: Kraft, die auf den Boden wirkt und aus der die (Haft-/Gleit-/Roll-)Reibung berechnet wird. Diese berechnet sich aus [math]Fn=m*g*cos(alpha)[/math]. Alpha ist hier die Steigung. Sollte man mit dem Roboter also eine Steigung überwinden, hat man eine geringere (Haft-/Gleit-/Roll-)Reibung zu überwinden.
  • Hang(auf|ab)triebskraft: Kraft, die der Roboter überwinden muss, um den Berg hinaufzufahren. Diese Kraft kann man aus [math]Fh=m*g*sin(alpha)[/math] errechnen.

Gefälle

Bei Gefällen gilt das Gleiche wie bei Steigungen, nur dass hier die Hangabtriebskraft wirkt. Diese berechnet sich wie die Hangauftriebskraft. Die Berechnung der Normalkraft ist identisch wie die Berechnung der benötigten Kraft für die Steigung.

Hindernisse

Hindernisse, wie Türschwellen oder kleine Stufen kann man ähnlich wie Steigungen betrachten. Anhand der Radduchmesser kann man sich überlegen was für einer Steigung das Hindernis entspricht. Man betrachtet dazu die Verlagerung des Schwerpunktes des Robots, wenn sich die Räder ein wenig drehen, um über das Hindernis zu kommen. Vereinfacht kann man das Hindernis durch eine Rampe ersetzen, die die Räder an der selben Stelle wie das reale Hindernis berührt.

Luftwiderstand

Der Luftwiderstand betrifft eigentlich nur schnelle Roboter. Hierzu braucht man eine Latte von Koeffizienten: Luftdichte ld, Reibungskoeffizient cw und die "Luftaufprallfläche" A. [math]F=0.5v^2*cw*ld*A[/math]. Die Luftdichte ist standardgemäß 1.1. Für cw muss man nach Koeffizienten suchen. A ist die Aufprallfäche, das ist die Seite, die mit dem Fahrtwind konfrontiert wird. Mehr dieser Koeffizienten findet man unter Weblinks.

Errechnung der Motorkraft

Man berechnet nun die Einzelkräfte für die verschiedenen Szenarios (z.B. Fahren auf Kies, Schotter, den Hang hinauf, über die Türschwelle etc). Die benötigten Einzelkräfte (Rollreibung, Luftwiderstand, Hang(auf|ab)triebskraft etc.) der Szenarios werden jeweils addiert:

Fges=F1+F2+...+Fn

Diese Gesamtkraft ist die Kraft, die -umgesetzt- werden muss, d.h. wirklich am Rad (oder was auch immer verwendet wird) wirken muss. Hat man die benötigte Kraft errechnet gilt:

Mrad=Fges*r

  • Fges ... nötige Kraft [in Newton]
  • r ... Radius des Rades
  • Mrad ... nötiges Drehmoment am Rad [in Newton-Meter]

Es geht jedoch zwischen Motor und Rad noch Kraft verloren - vor allem durch das Getriebe. Die Gesamtkraft muss also noch durch die Effektivität (z.B. des Getriebes) dividiert werden.

Mmotor = Mrad / Eff%

  • Mmotor ... nötiges Drehmoment am Motor [in Newton-Meter]
  • Eff% ... Effektivität der Kraftübertragung (Motor zu Rad) [in Prozent, d.h. Wert 0-1, 1 = 100%]

Die obige Rechnung geht davon aus, dass die Kraft 1:1 vom Motor auf das Rad übertragen wird. Wird ein Getriebe verwendet, muss die Gleichung etwas angepasst werden.


Getriebe

Ein Getriebe hat die Aufgabe Geschwindigkeit in Kraft oder Kraft in Geschwindigkeit umzuwandeln. Setzt man nun ein Getriebe mit 1:200 ein, wird die Kraft 200fach stärker, die Geschwindigkeit 200fach langsamer (wenn man die Reibung vernachlässigt). Ein Getriebe ist auf jeden Fall sinnvoll und zu empfehlen.

Für die nötige Motorkraft gilt dann:

Mmotor = Mrad / X / Eff%

  • X ... Übersetzungsverhältnis (Verringerungsfaktor der Drehzahl) des Getriebes

Die Effektivität eines Getriebes liegt meist irgendwo bei 95% bis 47%. Man schätzt bei "normalen" Getrieben (das gilt also nicht für Planetengetriebe) mit 10% Verlust an Kraft pro Übersetzungsstufe (Anzahl Zahnräder - 1). Je größer die Übersetzung X und je kleiner die Bauform des Getriebes relativ zur Dicke der Achse ist, desto mehr Übersetzungsstufen werden notwendig. Die Effektivität ist auch vom Material, Schmiere und Raumtemperatur abhängig. Wenn man sein Getriebe nicht gerade selbst baut, schaut man diesen Wert besser im Datenblatt nach.

Zur Schätzung kann man rechnen: Eff% = (100% - Verlust%) ^ N

  • Verlust% ... Verlust pro Übersetzungsstufe
  • N ... Übersetzungsstufen

Für 10% Leistungsverlust pro Stufe ergeben sich folgende Werte:

1 Stufe  ... 90% ...     3:1
2 Stufen ... 81% ...     9:1
3 Stufen ... 73% ...    27:1
4 Stufen ... 66% ...    81:1
5 Stufen ... 59% ...   243:1 
6 Stufen ... 53% ...   729:1
7 Stufen ... 48% ...  2187:1

In der letzten Spalte ist angegeben, wie z.B. das Übersetzungsverhältnis aussehen könnte, wenn pro Stufe ein Verhältnis von 3:1 erreicht wird. Dies ist allerdings nur als Anhaltspunkt zu sehen, man kann dadurch nur ansatzweise die Anzahl Übersetzungsstufen schätzen. Letztlich sollte man sich an die Werte im Datenblatt halten, wenn es um ein bestimmtes Getriebe geht.

Geschwindigkeit

Die Geschwindkeit des Roboters ist das Produkt aus 2*π, dem Reifenradius (r) und der Drehzahl (N). Ein eventuell vorhandenes Getriebe (Übersetzungsverhältnis X:1) ist natürlich miteinzubeziehen.

Als Formel (ohne Getriebe): v = 2π * r * N

Als Formel (mit Getriebe): v = 2π * r * N / X

Leistung

Das optimale Drehmoment Mopt (nicht zu verwechseln mit dem maximalen Drehmoment!) und die dabei erreichte Winkelgeschwindigkeit ergeben als Produkt die maximale Leistung Pmax:

Pmax = Mopt * ω

Die gesuchte Winkelgeschwindigkeit lässt sich aus der Drehzahl Nopt (nicht zu verwechseln mit der Leerlauf-Drehzahl), die bei dem optimalen Drehmoment erreicht wird, berechnen:

ω = 2 * π / T = 2 * π * f

f = Nopt [in "pro Sekunde"]

Es gilt daher:

Pmax = Mopt * 2π * Nopt

Zum Beispiel:

Mopt = 2,5 mNm = 0,0025 Nm
Nopt = 7200/min = 120/s (7200 Umdrehungen pro Minute)
Pmax = 1,885 Nm/s = 1,885 Watt

Setzt man für Mopt das notwendige Motordrehmoment Mmotor (= Mrad / X / Eff%) ein, so erhält man:

Pmin = Mrad / X / Eff%  * Nopt * 2 * π
Mrad = Fges * r
Pmin = Fges * r / X / Eff% * Nopt * 2 * π
v = 2*π*r*N/X  
X = 2*π*r*N/v
N = Nopt
Pmin = Fges * r / (2*π*r*Nopt) * v / Eff% * Nopt * 2 * π
Pmin = Fges * v / Eff%

Wir können also die minimal nötige Motorleistung zurückführen auf: Pmin = Fges * v / Eff%

Notwendige Motorleistung

Die nötige Geschwindigkeit ist je nach Szenario variabel. Der Roboter muss z.B. über eine Türschwelle vielleicht nicht unbedingt so schnell fahren wie auf ebenem Untergrund. Deshalb sind alle Szenarien getrennt durchzurechnen. Als notwendige Motorleistung ist dann die höchste errechnete Leistung aller Szenarien zu werten.

Wenn man kein umschaltbares Getriebe hat, sollte man die Berechnung besser anhand der Kraft oder des Drehmomentes machen. Die nötige Kraft ergibt sich aus dem ungünstigsten Szenario, z.B. das Anfahren an einer Steigung.

Rechenbeispiel für die benötigte Leistung

Annahmen: Das Getriebe ist variabel und hat eine fixe Effizienz von 50%.

Unveränderliche Werte:

  • Gewicht (m) = 3kg
  • Fallbeschleunigung (g) = 9,81m/s² [Erdanziehung in Mitteleuropa]
  • Rollreibungskoeffizient (fr) = 0,05 [Autoreifen auf Erdweg]
  • Radius der Räder (r) = 0,0125m [ = 2.5cm Durchmesser]
  • Getriebe-Effektivität: 0,5 (= 50%; Schätzwert)


Pmin = Fges * v / 0.5


Szenario 1 (Ebene):

  • Geschwindigkeit (v) = 0,1 m/s
Fn = fr * m * g = 1,4715 N
Fges = Fn = 1,4715 N
Pmin = Fges * v / 0.5
Pmin = 0,2943 W


Szenario 2 (langsameres Überfahren der Türschwelle):

  • Geschwindigkeit (v) = 0,03 m/s (Achtung! Weniger Geschwindigkeit als bei Szenario 1)
  • Höhe der Türschwelle: 0,01m [ = 1cm ]
  • Steigungswinkel (alpha): 39,23° [ alpha = arccos((r - h) / r)/2 ]
Fn = fr * m * g * cos(alpha) = 1,140 N
Fh = m * g * sin(alpha) = 18,613 N
Fges = Fn + Fh = 19.753 N
Pmin = Fges * v / 0.5 (gilt nur für Eff% = 0,5!)
Pmin = 0,39506  W

Das Maximum für Pmin aller Szenarien ist damit 0,39506 Watt.

Was bei der Komponentenwahl zu beachten ist

Die minimal notwendige Leistung haben wir gerade berechnet oder besser abgeschätzt. Dabei wurde aber vernachlässigt, dass das Getriebe nicht von Szenario zu Szenario wechselt, sondern gleich bleibt. Zudem sind wir davon ausgegangen, dass ein Getriebe für jedes beliebige Übersetzungsverhältnis erhältlich (und bezahlbar) ist.

Das bedeutet, man kann mit diesem Pmin nur ersteinmal eine Art Vorauswahl treffen. Für die in Frage kommenden Motoren und Getriebe ist dann noch einmal alles genau durchzurechnen. Vor allem gibt es für die Getriebe maximale Belastungen für die Eingangsdrehzahl und das maximale Last-Drehmoment. Das Lastdrehmoment entspricht an sich Mrad. Es kann aber auch weniger sein, d.h. Mrad/Y, wenn der Motor nicht direkt an das Getriebe angeschlossen wird, sondern dabei nochmal durch ein kleines "Getriebe" Y:1 übersetzt wird. Dann ist allerdings das Übersetzungsverhältnis des "Fertiggetriebes" X:1 noch durch Y zu teilen, d.h. mit X/Y statt mit X zu rechnen, da X in der Rechnung das vollständige Übersetzungsverhältnis vom Motor bis zur Kraftübertragung auf den Fahruntergrund entspricht.

Folgende Herangehensweise ist empfehlenswert:

  1. Motoren heraussuchen, deren Leistung (= Nenndrehzahl (U/min)/60 * Nenndrehmoment (mNm)) größer als die berechnete Mindestleistung ist
  2. Mit dem preiswertesten Motor (Pmotor, Nopt = Nenndrehzahl, Mopt = Nenndrehmoment, Mmax = max. Drehmoment) beginnend:
  3. Geschwindigkeit v des Szenarios mit der höchsten notwendigen Leistung Pmin verwenden, um das optimale Übersetzungsverhältnis zu errechnen: X = 2*π*r*Nopt/v
  4. Getriebe auswählen (Nmax = max. Drehzahl, Mmax = Max. Drehmoment (Dauerlast), Übersetzungsverhältnis X:1), das X:1 am besten entspricht. Dabei darf es höchstens das Übersetzungsverhältnis X:1 aufweisen (sonst ist die Geschwindigkeit später geringer als gewünscht). Bei verschiedenen Fabrikaten das Preiswerteste zuerst.
  5. Prüfen, ob das Getriebe mit dem maximal möglichen Drehmoment klar kommt (Dauerlast-Angabe nehmen! nicht max. Spitzendrehmoment!)
  6. Rückrechnen des nötigen Drehmoments Mmotor = Fges*r / X / Eff% mit X und Eff% des realen Getriebes für alle Szenarien und prüfen, ob Mmotor < Mmax des Motors.
  7. Sämtliche Getriebe durchrechnen, bis eines paßt oder keines mehr übrig ist...
  8. Falls kein Getriebe mit diesem Motor die Erfordernisse erfüllt, den nächst teureren Motor durchprobieren...


Hinweis: Schließt man die Räder direkt an eine Achse eines Getriebes oder des Motors an, muss man darauf achten, dass die zulässige Achslast nicht überschritten wird, sonst werden Motor oder Getriebe geschädigt. Koppelt man das Rad über Zahnräder, Riemen oder Zahnriemenräder und verpasst der Radachse ein eigenes Lager, das entsprechend robuster ist, kann man das Übersetzungsverhältnis möglicherweise noch etwas anpassen, sodass es dem optimalen, berechneten Übersetzungsverhältnis noch näher kommt. Dadurch hat man allerdings zusätzliche Reibung (in den Lagern und bei der Kopplung), die in die Effizienzberechnungen (Effizienzen aller Kraftübertragungen immer aufmultiplizieren) eingeht. Evtl. kann man dadurch aber auch gleich noch Probleme beseitigen, die durch die Beschränkungen der "Fertiggetriebe" daherkommen (z.B. könnte man das nötige Drehmoment am "Fertiggetriebe"-Ausgang damit reduzieren, sodass es geringer als das zulässige Dauerdrehmoment des Getriebes ist).

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