Aus RN-Wissen.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
Balkonkraftwerk Speicher und Wechselrichter Tests und Tutorials

(Elastomechanik - Die Berechnungen)
 
(26 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 
== Einleitung ==
 
== Einleitung ==
Dieser Beitrag dient dem groben Verständniss der Technischen Mechanik. Natürlich kann ich hier nur einen kleinen Ausschnitt zeigen, da das Thema einfach zu umfangreich ist.
+
Dieser Beitrag dient dem groben Verständnis der Technischen Mechanik. Natürlich kann ich hier nur einen kleinen Ausschnitt zeigen, da das Thema einfach zu umfangreich ist.
  
Ich werde das Prinzip der Technischen Mechanik sowie alle Berechnungen anhand des Beispiels eines Hexapod´s erläutern.
+
Ich werde das Prinzip der Technischen Mechanik sowie alle Berechnungen anhand des Beispiels eines Hexapods erläutern.
  
  
Am Ende dieses Beitrags solltet Ihr in der Lage sein folgende Berechnungen für eigene Projekte durchzuführen:
+
Am Ende dieses Beitrags solltet ihr in der Lage sein folgende Berechnungen für eigene Projekte durchzuführen:
  
 
- Kräfte und Momente am Lager berechnen.
 
- Kräfte und Momente am Lager berechnen.
Zeile 16: Zeile 16:
  
 
- Bauteildimensionierung.
 
- Bauteildimensionierung.
 +
 +
  
  
Zeile 21: Zeile 23:
  
 
== Was ist Technische Mechanik? ==
 
== Was ist Technische Mechanik? ==
Die Technische Mechanik betrachtet Zustände von Körpern unter Einfluss von Kräften und Momenten.
+
Die Technische Mechanik ist ein Spezialgebiet der Physik und betrachtet Zustände von Körpern unter Einfluss von Kräften und Momenten.
  
 
Dabei unterscheidet man zwischen:
 
Dabei unterscheidet man zwischen:
  
'''1)Statik:''' Die Mechanik der starren Körper.
+
'''1) Statik:''' Die Mechanik der starren Körper in Ruhe. Gehört zur Starrkörperphysik, ist aber eine Art "Wissenschaft für sich"
  
'''2)Elastomechanik/Elastostatik:''' Die Mechanik der deformierbaren Körper.
+
'''2) Elastomechanik, auch: Festigkeitslehre:''' Die Mechanik der deformierbaren Körper. Eigentlich gehören auch Flüssigkeiten und Gase dazu, aber die werden gesondert behandelt (Fluidmechanik, Thermodynamik).
  
'''3)Kinetik/Kinematik:''' Die Mechanik der dynamischen Systeme.    <math>\Leftarrow</math> '''Auf Kinetik werde ich hier nicht näher eingehen.'''
+
'''3) Kinematik: ''' Betrachtung von Bewegungen eines "Punktes", geradlinig, auf einer Kreisbahn oder beides gleichzeitig
  
 +
'''4) Dynamik:''': Jetzt bekommt der sich bewegende Punkt eine Masse ("Massenpunkt")  und damit auch Impuls, Kräfte/Momente und Bewegungs- und Lageenergie.
  
 +
'''5) Starrkörperphysik:''' Auf Körper mit Masse und Volumen (angenommen als homogen und unverformbar) werden Kinematik, Statik und Dynamik angewendet. Bei einer Drehbewegung kommt jetzt z.B. das Trägheitsmoment ins Spiel.
  
 +
'''6) Schwingungslehre''' (Schwingung: perodische Zustandsänderung eines Systems um einen Gleichgewichtszustand)
 +
 +
'''7) Werkstoffkunde:''' Die Chemie der Werkstoffe. Hier kommen die Kennwerte her, mit denen die Festigkeitslehre arbeitet.
 +
 +
Man betrachtet (um die Verwirrung perfekt zu machen) zweidimensionale (ebene) und dreidimensionale (räumliche) Systeme. Wo auch immer möglich versucht man, zweidimensionale Rechnungen anzuwenden, denn: Bei räumlichen Systemen kommt man leider häufig nicht um Matrizenrechnung herum.
 +
 +
== Wo und wie lerne ich mehr darüber? ==
 +
 +
Zum Verständnis mechanischer Berechnungen werden sichere mathematische Kenntnisse in den Bereichen Geometrie, Vektorrechnung und Analysis benötigt.
 +
 +
Wer (teure) Fachliteratur, Formeln und Tabellen sucht, wird in der Stadtbücherei fündig. Außerdem geben Firmen wie z.B. INA (Wälzlager) kleine Tabellenbücher auch als Werbegeschenke raus.
 +
 +
Bei Interesse an diesem Themengebiet (und entsprechender Befähigung) ist schulische Bildung in Form des Physik-Leistungskurses (Sekundarstufe II) dem Verständnis sehr zuträglich.
 +
Es sei an dieser Stelle noch erwähnt, dass die technische Mechanik (und zwar mit allen Details) der Hauptinhalt (und neben Thermodynamik der trockenste Stoff) des Maschinenbaustudiums an einer Uni oder FH ist.
  
 
== Statik ==
 
== Statik ==
Zeile 38: Zeile 56:
 
Mit der Statik lassen sich Lagerkräfte bzw. resultierende Kräfte berechnen.
 
Mit der Statik lassen sich Lagerkräfte bzw. resultierende Kräfte berechnen.
 
Allerdings berücksichtigt die Statik weder das Material, noch die Geometrie des Querschnitts. Somit lässt sich mit der Statik keine Aussage über die Belastungen des Bauteils selbst treffen.
 
Allerdings berücksichtigt die Statik weder das Material, noch die Geometrie des Querschnitts. Somit lässt sich mit der Statik keine Aussage über die Belastungen des Bauteils selbst treffen.
 +
  
  
Zeile 47: Zeile 66:
 
Wir wollen berechnen welche/s Kraft/Moment auf den Schulterservo allein durch das Gewicht des Hexapod wirkt.
 
Wir wollen berechnen welche/s Kraft/Moment auf den Schulterservo allein durch das Gewicht des Hexapod wirkt.
  
Dazu müssen wir erstmal ein mechanisches Ersatzmodell (Skizze) Bilden:
+
 
 +
Damit eine Kraft auf einen Balken (Werkstück) wirken kann muss es gelagert (befestigt) sein, sonst würde man es ja wegschieben.
 +
 
 +
 
 +
Dabei gibt es verschiedene Arten etwas zu lagern:
 +
 
 +
 
 +
[[Bild:Lager.jpg]]
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''Loslager:''' Das Loslager, ein Gleitlager, kann in dieser Anordnung nur Kräfte in Y-Richtung aufnehmen.
 +
 
 +
'''Festlager:''' Das Festlager kann sowohl Kräfte in Y- als auch X-Richtung aufnehmen.
 +
 
 +
'''Eingespannt:''' Bei einer Einspannung wird zu den Kräften in X/Y-Richtung auch noch ein Moment aufgenommen.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''Bei unseren Servos handelt es sich um eine Einspannung, da sie ja das Moment aufnehmen müssen, damit die Spinne stehen bleibt.'''
 +
 
 +
 
 +
 
 +
=== Hexapod ===
 +
 
 +
Wir müssen erstmal ein mechanisches Ersatzmodell (Skizze) bilden:
  
  
 
[[Bild:Hexapod-belastung2.jpg]]
 
[[Bild:Hexapod-belastung2.jpg]]
  
 +
{{Ausbauwunsch|Dieser Absatz war stark fehlerbehaftet und wird z.Zt. überarbeitet
 +
--[[Benutzer:Max2k|Max2k]] 03:41, 16. Mär 2008 (CET)}}
  
Die Gewichtskraft <math>F_G</math> resultiert aus dem Gewicht (in Kg) multipliziert mit der Erdbeschleunigung <math>g=9,81 m/s^2</math>,
+
''Zunächst einmal legen wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem fest und zeichnen es in die Skizze ein''
 +
<math>\uparrow</math> y-Richtung <math>\rightarrow</math> x-Richtung
 +
 
 +
Die Gewichtskraft <math>F_G</math> resultiert aus dem Gewicht (in kg) multipliziert mit der Erdbeschleunigung <math>g=9,81 m/s^2</math>,
  
 
denn: <math>F=m\cdot a</math> , also Kraft = Masse * Beschleunigung.
 
denn: <math>F=m\cdot a</math> , also Kraft = Masse * Beschleunigung.
  
 +
''Als nächstes folgt das sogenannte Freischneiden des Systems. Man darf dazu Teile des Systems wegschneiden und stattdessen die an der Schnittstelle wirkenden Kräfte antragen''
  
Nun müssen wir die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen: (Also die Summe aller Kräfte in x/y Richtung und des Momentes um den Punkt A = 0)
+
Wir betrachten zunächst einmal nur ein Bein des Bots und die Achse des Servos, Punkt A.
  
(1)<math>\Sigma\vec x =: 0</math>
+
Wir dürfen für das Kräftegleichgewicht<math>F_G</math> vom Körperschwerpunkt parallel in den Punkt A (Servo) verschieben. F_G wirkt auf alle Beine. Für ein einzelnes Bein fließt F_G in die Körperkräfte in y-Richtung mit ein (wie genau hängt noch von anderen Bedingungen ab, dazu gleich mehr)
  
(2)<math>\Sigma\uparrow y =: F_B - F_G = 0</math>
+
Wir müssen Lagerkräfte F_AX und F_AY antragen, und außerdem  Körperkräfte, die den Punkt A an Ort und Stelle im Gleichgewicht halten.
  
(3)<math>\Sigma M_A =: F\cdot (15mm + 60mm) - M_A = 0</math>
+
Jetzt haben wir das Bein vom Körper freigeschnitten.
 +
Von der Beinkraft wissen wir noch nicht, in welche Richtung sie wirkt, also zerlegen wir sie in eine x- und eine y-Komponente.
  
 +
Nun müssen wir die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen: (Also die Summe aller Kräfte in x/y-Richtung und der Momente um den Punkt A = 0)
  
 +
(1)Summe der Kräfte in x-Richtung = 0: F_(A,x)+F_(Körper,x) +F_(B,x)=0
  
 +
 +
(2)Summe der Kräfte in y-Richtung = 0: F_(A,y)+F_(Körper,y) +F_(B, y) - F_G = 0
 +
 +
 +
(3)Summe der Momente im Punkt A= 0: M_Körper - F_(B,x) * 0,075m + F_(B,y) * 0,05m
 +
 +
 +
Nun sehen wir, dass wir zu viele Unbekannte haben, um die Gleichungen auflösen zu können.
 +
Das bedeutet: Zusätzliche Informationen sammeln bzw. zusätzliche Gleichungen aufstellen.
 +
 +
In jedem einzelnen Fall müssen wir die Kräfte und Momente im Körper bestimmen. Diese sind abhängig von:
 +
 +
- der Anzahl der Beine, die den Boden berühren (Kräftegleichungen)
 +
 +
- der Position am Körper der Beine, die den Boden berühren
 +
 +
Die Kräfte F_Bein,x und F_Bein,y können wir als Funktion von Anstellwinkel und F_Bein ausdrücken:
 +
 +
(5) F_B,y = F_B * sin(alpha)
 +
 +
(6) F_B,x = F_B * cos(alpha)
 +
 +
alpha ist der Winkel zwischen:
 +
der Geraden zwischen Auflagepunkt des Beinendes und Punkt A und der Ebene "Boden". Der Kraftvektor F_Bein zeigt entlang dieser Geraden.
 +
 +
'''Stillstand:'''
 +
 +
Wir machen noch eine zusätzliche Annahme: In x-Richtung können die Füße des Bots keine Kräfte an den Boden übertragen, es gilt:
 +
 +
(7)F_B,x=0
 +
 +
Man kann sich das so vorstellen: Selbst wenn der Bot auf einer glatten Oberfläche (Eis) steht, darf er keine "Grätsche" machen.
 +
Für das Moment gilt (7) in (3).
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
----
 +
'''Alter Text'''
 +
 +
somit gilt: <math>F_G = F_{AY}</math>
 
Aus (2) erhalten wir: <math>F_B = F_G</math>
 
Aus (2) erhalten wir: <math>F_B = F_G</math>
  
da wir davon ausgehen das die Spinne immer mit mindestens 3 Beinen auf dem Boden steht rechnen wir mit der Ersatzkraft:
+
da wir davon ausgehen, dass die Spinne immer mit mindestens 3 Beinen auf dem Boden steht, rechnen wir mit der Ersatzkraft:
 
<math>F = \frac{1}{3}F_B = \frac{1}{3}F_G = 1.8N</math>
 
<math>F = \frac{1}{3}F_B = \frac{1}{3}F_G = 1.8N</math>
  
Zeile 81: Zeile 179:
 
Der Schulterservo muss also mindestens 13.5N/cm haben.
 
Der Schulterservo muss also mindestens 13.5N/cm haben.
  
Mit einem Sicherheitsfaktor von 1.5 Multipliziert erhalten wir: <math>13.5N/cm \cdot 1.5 \approx 20N/cm</math>
+
Mit einem Sicherheitsfaktor von 1.5 multipliziert erhalten wir: <math>13.5N/cm \cdot 1.5 \approx 20N/cm</math>
 
+
 
+
 
+
  
 
== Elastomechanik Modellfindung ==
 
== Elastomechanik Modellfindung ==
Zeile 93: Zeile 188:
  
  
'''Verdeutlichen wir dass wieder am Beispiel des Hexapod:'''
+
'''Verdeutlichen wir das wieder am Beispiel des Hexapod:'''
  
 
Wenn der Hexapod läuft bewegt er sich ja nicht "flüssig" wie ein Roboter mit Rädern, sondern "ruckartig".
 
Wenn der Hexapod läuft bewegt er sich ja nicht "flüssig" wie ein Roboter mit Rädern, sondern "ruckartig".
Zeile 121: Zeile 216:
  
  
'''Was ist das gefährliche an Querkräften?'''
+
'''Was ist das Gefährliche an Querkräften?'''
  
-Die Querkraft greift über einen dünneren Querschnitt an (dazu später mehr)
+
- Die Querkraft greift über einen dünneren Querschnitt an (dazu später mehr)
  
-Die Querkraft sorgt für eine Torsion des Oberschenkels (dazu später mehr)
+
- Die Querkraft sorgt für eine Torsion des Oberschenkels (dazu später mehr)
  
  
  
  
== Physik Exkurs ==
+
 
 +
 
 +
== Physik-Exkurs ==
 
Wir müssen nun berechnen wie hoch diese Querkräfte sind, dazu brauchen wir etwas Physik!
 
Wir müssen nun berechnen wie hoch diese Querkräfte sind, dazu brauchen wir etwas Physik!
  
  
 
Die Kraft in Querrichtung hängt von der Beschleunigung ab, die die Spinne beim Auftreten negativ und Losgehen positiv erfährt.
 
Die Kraft in Querrichtung hängt von der Beschleunigung ab, die die Spinne beim Auftreten negativ und Losgehen positiv erfährt.
Die höhere von Beiden ist logischerweise die beim Auftreten, denn sie ist "ruckartiger", also in einem kurzerem Zeitraum. Deshalb kann man die Beschleunigung und die daraus resultierende Querkraft beim Losgehen ignorieren.
+
Die höhere von beiden ist logischerweise die beim Auftreten, denn sie ist "ruckartiger", also in einem kürzerem Zeitraum. Deshalb kann man die Beschleunigung und die daraus resultierende Querkraft beim Losgehen ignorieren.
  
  
Zeile 144: Zeile 241:
  
  
Die Beschleunigung hängt von der Geschwindigkeit ab. Die Geschwindigkeit wird wiederrum von der Schrittweite und der Geschwindigkeit der Servos definiert, denn:
+
Die Beschleunigung hängt von der Geschwindigkeit ab. Die Geschwindigkeit wird wiederum von der Schrittweite und der Geschwindigkeit der Servos definiert, denn:
  
  
Zeile 158: Zeile 255:
  
  
Der Winkel <math>\delta_{max}</math> bildet sich zwischen den beiden Pfeilen <math>r_{max}</math>, somit ergibt sich mit Schrittweite S ein gleichschenkliges Dreieck.
+
Der Winkel <math>\delta_{max}</math> bildet sich zwischen den beiden Pfeilen <math>r_{max}</math>, somit ergibt sich mit Schrittweite S ein gleichschenkeliges Dreieck.
  
  
Zeile 164: Zeile 261:
  
  
Verwendet man nun den Cosinussatz:
+
Verwendet man nun den Cosinussatz
  
 
[[Bild:Tr5s2p2.gif]]
 
[[Bild:Tr5s2p2.gif]]
Zeile 172: Zeile 269:
  
  
Und setzt die Werte ein, erhält man:
+
und setzt die Werte ein, erhält man:
  
 
<math>s = \sqrt{r_{max}^2 + r_{max}^2 - 2r_{max}r_{max} * \cos \delta _{max}}</math>  <math>\Rightarrow</math> <math>s \approx 40mm</math>
 
<math>s = \sqrt{r_{max}^2 + r_{max}^2 - 2r_{max}r_{max} * \cos \delta _{max}}</math>  <math>\Rightarrow</math> <math>s \approx 40mm</math>
Zeile 178: Zeile 275:
  
  
Als Servo Geschwindigkeit hab ich in diesem Fall 0.2s/60° gefunden.
+
Als Servo-Geschwindigkeit hab ich in diesem Fall 0.2s/60° gefunden.
  
  
Zeile 186: Zeile 283:
  
  
Jetzt müssen wir aber auch noch anheben und absenken des Beines dazu rechnen, da es ja nicht komplett simultan zur Drehbewegung geschiet, denn das Bein muss erst leicht angehoben sein um es zu drehen.
+
Jetzt müssen wir aber auch noch Anheben und Absenken des Beines dazu rechnen, da es ja nicht komplett simultan zur Drehbewegung geschieht, denn das Bein muss erst leicht angehoben sein, um es zu drehen.
  
  
Zeile 194: Zeile 291:
  
  
Rein Theoretisch müsste die Spinne also etwa folgende Geschwindigkeit erreichen:
+
Rein theoretisch müsste die Spinne also etwa folgende Geschwindigkeit erreichen:
  
 
<math>V = 40mm/0.15s = 0.96km/h</math>
 
<math>V = 40mm/0.15s = 0.96km/h</math>
Zeile 203: Zeile 300:
 
Die Beschleunigung tritt nun also immer dann ein, wenn die Spinne auftritt und somit von 0.267m/s auf 0m/s gebremst wird.
 
Die Beschleunigung tritt nun also immer dann ein, wenn die Spinne auftritt und somit von 0.267m/s auf 0m/s gebremst wird.
  
Der Zeitraum in dem die negative Beschleunigung auftritt ist die Zeit in der die Spinne das bein anhebt oder senkt, '''also 0.05s.'''  
+
Der Zeitraum, in dem die negative Beschleunigung auftritt, ist die Zeit in der die Spinne das Bein anhebt oder senkt, '''also 0.05s.'''  
  
  
 
Nun kann man über den Impulssatz: <math>p = m * v = 0.14685 \frac{kg \cdot m}{s}</math> oder die Beschleunigung <math>a = \frac{\Delta v(t)}{\Delta t} = 5.34m/s^2</math> rechnen,
 
Nun kann man über den Impulssatz: <math>p = m * v = 0.14685 \frac{kg \cdot m}{s}</math> oder die Beschleunigung <math>a = \frac{\Delta v(t)}{\Delta t} = 5.34m/s^2</math> rechnen,
  
ich nehme den Impuls, bins halt so gewohnt...
+
ich nehme den Impuls, bin's halt so gewöhnt ...
  
  
Zeile 220: Zeile 317:
  
  
== Elastomechanik Die Berechnungen ==
+
 
Damit beenden wir den Physik Exkurs und kommen zurück zur Elastomechanik. Da wir nun die Querkräfte berechnet haben, die auf ein Bein wirken, haben wir nun fast alle Daten die wir zur Berechnung der Verformung und Belastung benötigen.
+
 
 +
== Elastomechanik - Die Berechnungen ==
 +
Damit beenden wir den Physik-Exkurs und kommen zurück zur Elastomechanik. Da wir nun die Querkräfte berechnet haben, die auf ein Bein wirken, haben wir nun fast alle Daten, die wir zur Berechnung der Verformung und Belastung benötigen.
  
  
 
'''Was fehlt nun noch?'''
 
'''Was fehlt nun noch?'''
  
Wir müssen festlegen aus welchem Material wir die Teile fertigen, denn Stahl ist z.B. stabiler als Lexan(Plexyglas) und wird sich auch weniger verformen.
+
Wir müssen festlegen, aus welchem Material wir die Teile fertigen, denn Stahl ist z.B. stabiler als Lexan (Polycarbonat) und wird sich auch weniger verformen.
  
  
Zeile 243: Zeile 342:
 
====Zug / Druck====
 
====Zug / Druck====
 
----
 
----
Die Eigenschaften eines Werkstoffes unter Zug/Druck spiegeln sich in folgenden Werten wieder:
+
Die Eigenschaften eines Werkstoffes unter Zug/Druck spiegeln sich in folgenden Werten wider:
  
 
E - Das Elastizitätsmodul
 
E - Das Elastizitätsmodul
Zeile 251: Zeile 350:
  
  
Das E - Modul hat folgenden Zusammenhang:
+
Das E-Modul hat folgenden Zusammenhang:
  
 
<math>E = \frac{\sigma}{\epsilon}</math>
 
<math>E = \frac{\sigma}{\epsilon}</math>
  
  
<math>\epsilon = \frac{\Delta l}{l_0}</math> , Die Dehnung.
+
<math>\epsilon = \frac{\Delta l}{l_0}</math> , die Dehnung.
  
 
Ist die Ausgangslänge <math>l_0 = 100mm</math> und die Länge nach Einwirkung einer Kraft <math>l_1 = 110mm</math>, dann ist die Längendifferenz <math>\Delta l = 10mm</math>. Daraus folgt: <math>\epsilon = \frac{10mm}{100mm} = 0.1 = 10%</math>
 
Ist die Ausgangslänge <math>l_0 = 100mm</math> und die Länge nach Einwirkung einer Kraft <math>l_1 = 110mm</math>, dann ist die Längendifferenz <math>\Delta l = 10mm</math>. Daraus folgt: <math>\epsilon = \frac{10mm}{100mm} = 0.1 = 10%</math>
Zeile 264: Zeile 363:
  
  
Das Elastizitätsmodul eines Materials ist die Spannung bei der sich das Werkstück in seiner Länge verdoppeln würde.
+
Das Elastizitätsmodul eines Materials ist die Spannung, bei der sich das Werkstück in seiner Länge verdoppeln würde.
Je mehr Wiederstand ein Material seiner Verformung entgegensetzt umso höher ist das E - Modul.
+
Je mehr Widerstand ein Material seiner Verformung entgegensetzt, umso höher ist das E-Modul.
Stahl hat somit ein sehr hohes E - Modul und Gummi z.B. ein sehr kleines.
+
Stahl hat somit ein sehr hohes E-Modul und Gummi z.B. ein sehr kleines.
  
  
<math>\sigma _{zul}</math> - Die zulässige Spannung, ist ein in Versuchen ermittelter Wert, der angibt welche Spannungen, also Kraft pro Fläche, das Material in Zug und Druckrichtung verträgt.
+
<math>\sigma _{zul}</math> - Die zulässige Spannung ist ein in Versuchen ermittelter Wert, der angibt, welche Spannungen, also Kraft pro Fläche, das Material in Zug- und Druckrichtung verträgt.
  
  
Zeile 275: Zeile 374:
 
==== Schubspannungen (Torsion) ====
 
==== Schubspannungen (Torsion) ====
 
----
 
----
Verdrehen/Tordieren wir ein Werkstück wie ein Handtuch das wir auswringen, treten Schubspannungen auf.
+
Verdrehen/torieren wir ein Werkstück wie ein Handtuch, das wir auswringen, treten Schubspannungen auf.
 
Das ist später bei dem Oberschenkel der Fall, durch den Hebel des Unterschenkels verdrehen wir den Oberschenkel.
 
Das ist später bei dem Oberschenkel der Fall, durch den Hebel des Unterschenkels verdrehen wir den Oberschenkel.
Schubspannungen sind dabei die kritischsten, sie treten auf, wenn sich das Material an einer Stelle in entgegengesezte Richtungen verformt und sich somit abschert, alle Materialien sind sehr anfällig gegen Schubspannungen.
+
Schubspannungen sind dabei die kritischsten, sie treten auf, wenn sich das Material an einer Stelle in entgegengesetzte Richtungen verformt und sich somit abschert, alle Materialien sind sehr anfällig gegen Schubspannungen.
  
  
Die Eigenschaften eines Werkstoffes unter Schubspannung spiegeln sich in folgenden Werten wieder:
+
Die Eigenschaften eines Werkstoffes unter Schubspannung spiegeln sich in folgenden Werten wider:
  
  
G - Das Schubmodul, equivalent zum E - Modul.
+
G - Das Schubmodul, equivalent zum E-Modul.
  
  
Zeile 297: Zeile 396:
 
===Flächenträgheitsmoment===
 
===Flächenträgheitsmoment===
 
----
 
----
Trägheit bedeutet das "bestreben" des Körpers in seinem Bewegungszustand zu verharren. Je höher die träge Masse eines Körpers ist umso weniger verändert eine auf ihn einwirkende Kraft seinen Bewegungszustand.
+
Trägheit bedeutet das "Bestreben" des Körpers in seinem Bewegungszustand zu verharren. Je höher die träge Masse eines Körpers ist, umso weniger verändert eine auf ihn einwirkende Kraft seinen Bewegungszustand.
  
  
Das Flächenträgheitsmoment ist equivalent dazu das "bestreben" eines Körpers sich einer Biegung zu wiedersetzen. Somit ist das Flächenträgheitsmoment ein Maß für die Stefigkeit eines Querschnittes gegen Biegung.
+
Das Flächenträgheitsmoment ist equivalent dazu das "Bestreben" eines Körpers sich einer Biegung zu widersetzen. Somit ist das Flächenträgheitsmoment ein Maß für die Steifigkeit eines Querschnittes gegen Biegung.
  
  
 
'''Ein ganz einfaches Beispiel:'''
 
'''Ein ganz einfaches Beispiel:'''
  
Ihr nehmt ein Linial und biegt es über den schmalen Querschnitt... kein Problem.
+
Ihr nehmt ein Lineal und biegt es über den schmalen Querschnitt ... kein Problem.
  
 
Versucht das gleiche jetzt mal hochkant.
 
Versucht das gleiche jetzt mal hochkant.
Zeile 314: Zeile 413:
  
  
In unserem Beispiel des Hexapod ist der Querschnitt der Beine ein Rechteck:
+
In unserem Beispiel des Hexapods ist der Querschnitt der Beine ein Rechteck:
  
  
 
[[Bild:Flächenträgheit.jpg]]
 
[[Bild:Flächenträgheit.jpg]]
  
Da die Achsen direckt im Schwerpunkt liegen müssen wir den Schwerpunkt nicht weiter beachten. Wie mann anhand der Formeln sieht wird es wesentlich schwerer sein das Werkstück um die Z-Achse zu biegen, da Izz wesentlich größer als Iyy wird. Allerdings interessiert uns in unserem Fall nur Iyy.
+
Da die Achsen direkt im Schwerpunkt liegen, müssen wir den Schwerpunkt nicht weiter beachten. Wie mann anhand der Formeln sieht wird es wesentlich schwerer sein das Werkstück um die Z-Achse zu biegen, da Izz wesentlich größer als Iyy wird. Allerdings interessiert uns in unserem Fall nur Iyy.
  
  
  
  
Bei aus mehreren Teilen zusammengesezten Querschnitten, also z.B. T-Träger oder doppelt ausgelegte Oberschenkel eines Hexapod muss etwas umständlicher gerechnet werden.
+
Bei aus mehreren Teilen zusammengesetzten Querschnitten, also z.B. T-Träger oder doppelt ausgelegte Oberschenkel eines Hexapod muss etwas umständlicher gerechnet werden.
  
  
Das ist für die Beispielsberechnung nicht weiter relevant, aber eventuell braucht Ihr es mal selbst.
+
Das ist für die Beispielsberechnung nicht weiter relevant, aber eventuell braucht ihr es mal selbst.
  
 
[[Bild:Flächenträgheit3.jpg]]
 
[[Bild:Flächenträgheit3.jpg]]
  
Oben ist die Doppelte Auslegung eines Oberschenkels und unten ein T-Träger.
+
Oben ist die doppelte Auslegung eines Oberschenkels und unten ein T-Träger.
  
Wie man direckt erkennen kann hat der obere Fall einen Vorteil, wir wissen wo der Schwerpunkt S liegt, bei b/2 und h/2.
+
Wie man direkt erkennen kann hat der obere Fall einen Vorteil, wir wissen wo der Schwerpunkt S liegt, bei b/2 und h/2.
  
Des weiteren wissen wir auch wo die Schwerpunkte der beiden einzelnen Teile liegen.
+
Des weiteren wissen wir auch, wo die Schwerpunkte der beiden einzelnen Teile liegen.
  
 
Das vereinfacht die Rechnung ein wenig, denn wir müssen nicht erst den Schwerpunkt bestimmen.
 
Das vereinfacht die Rechnung ein wenig, denn wir müssen nicht erst den Schwerpunkt bestimmen.
Zeile 346: Zeile 445:
  
  
Im unteren Fall wissen wir zwar auch wo die Schwerpunkte der einzelnen Flächen liegen, aber nicht wo der Gesamtschwerpunkt liegt.
+
Im unteren Fall wissen wir zwar auch, wo die Schwerpunkte der einzelnen Flächen liegen, aber nicht wo der Gesamtschwerpunkt liegt.
  
Aufgrund der Symmetrie können wir die Z-Achse direckt durch den Schwerpunkt legen, aber die Y-Achse müssen wir erstmal oben eintragen, denn wir wissen nicht wo die Z Koordinate des Schwerpunktes liegt.
+
Aufgrund der Symmetrie können wir die Z-Achse direkt durch den Schwerpunkt legen, aber die Y-Achse müssen wir erstmal oben eintragen, denn wir wissen nicht, wo die Z-Koordinate des Schwerpunktes liegt.
  
  
Zeile 365: Zeile 464:
 
<math>I_{zzs} = I_{zz1} + I_{zz2}</math>
 
<math>I_{zzs} = I_{zz1} + I_{zz2}</math>
  
 
+
==Genug Theorie... Jetzt geht's los!==
 
+
Da wir nun alle nötigen Werte und Grundkenntnisse haben können wir endlich mit der Berechnung der Verformungen und Spannungen anfangen.
 
+
==Genug Theorie... Jetzt gehts los!==
+
Da wir nun alle nötigen Werte und Grundkenntnisse haben können wir endlich mit der Berechnung der Verformungen und Spannungen Anfangen.
+
  
  
Zeile 380: Zeile 476:
 
Der Unterschenkel wird von vorne mit der Kraft belastet und sich daher samt Oberschenkel nach hinten durchbiegen.
 
Der Unterschenkel wird von vorne mit der Kraft belastet und sich daher samt Oberschenkel nach hinten durchbiegen.
  
Zusätzlich überträgt der Unterschenkel als Hebel ein Torsionmoment auf den Oberschenkel.
+
Zusätzlich überträgt der Unterschenkel als Hebel ein Torsionsmoment auf den Oberschenkel.
  
  
Zeile 390: Zeile 486:
 
===Verformung und Belastung des Unterschenkels===
 
===Verformung und Belastung des Unterschenkels===
 
----
 
----
Als Material für alle Beine nehmen wir 3mm GFK (Glasfaser verstärkter Kuststoff).
+
Als Material für alle Beine nehmen wir 3mm GFK (glasfaserverstärkter Kunststoff).
  
  
Zeile 413: Zeile 509:
 
Die maximale Durchbiegung am freien Ende ist <math>w_{max}</math>.
 
Die maximale Durchbiegung am freien Ende ist <math>w_{max}</math>.
  
Um die Formel dazu nicht jedes mal herleiten zu müssen gibt es wiedermal ein Tabellenwerk:
+
Um die Formel dazu nicht jedesmal herleiten zu müssen gibt es wieder ein Tabellenwerk:
  
 
[[Bild:Tabelle.jpg|thumb|Tabbelwerk]]
 
[[Bild:Tabelle.jpg|thumb|Tabbelwerk]]
Zeile 429: Zeile 525:
  
  
'''Jetzt berechnen wir die Spannung die im Unterschenkel auftritt.'''
+
'''Jetzt berechnen wir die Spannung, die im Unterschenkel auftritt.'''
  
 
Dazu muss man schneiden, zur Erklärung:
 
Dazu muss man schneiden, zur Erklärung:
  
  
Schneiden bedeutet man "zerschneidet" das Werkstück/ den Balken um die inneren Kräfte, die im Balken selbst wirken freizulegen. Die Regel ist, man schneidet immer vor und nach einer Kraft bzw. Änderung. Eine Änderung kann hierbei ein Knick im Balken, ein Gelenk etc. sein.
+
Schneiden bedeutet man "zerschneidet" das Werkstück/den Balken, um die inneren Kräfte, die im Balken selbst wirken, freizulegen. Die Regel ist, man schneidet immer vor und nach einer Kraft bzw. Änderung. Eine Änderung kann hierbei ein Knick im Balken, ein Gelenk etc. sein.
  
 
[[Bild:Schneiden.jpg]]
 
[[Bild:Schneiden.jpg]]
Zeile 442: Zeile 538:
 
Wie schon in der Statik müssen wir wieder die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen.
 
Wie schon in der Statik müssen wir wieder die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen.
  
Allerdings nur die des Momentes, da uns ja nur die Biegespannungen interessieren, die durch das Moment hervorgerufen werden, klarer wird das, wenn wir uns die Gleichung der Maximalen Spannung anschauen:
+
Allerdings nur die des Momentes, da uns ja nur die Biegespannungen interessieren, die durch das Moment hervorgerufen werden, klarer wird das, wenn wir uns die Gleichung der maximalen Spannung anschauen:
  
  
Zeile 449: Zeile 545:
  
  
Wie wir sehen spielt hier nur das maximale Moment eine Rolle. Das maximale Moment tritt logischerweise am Lager, also dem Servo auf, denn um so größer <math>x_1</math> wird umso stärker wird das moment:
+
Wie wir sehen spielt hier nur das maximale Moment eine Rolle. Das maximale Moment tritt logischerweise am Lager, also dem Servo auf, denn um so größer <math>x_1</math> wird umso stärker wird das Moment:
  
  
Zeile 456: Zeile 552:
  
  
Setzen wir das maximale Moment nun in die Spannungsgleichung ein:
+
Setzen wir das maximale Moment nun in die Spannungsgleichung ein
  
  
Zeile 462: Zeile 558:
  
  
Erhalten wir eine maximale Spannung von <math>2.23N/mm^2</math> und sind damit weit von der zulässigen Spannung <math>\sigma _{zul} = 1000 N/mm^2</math> entfernt.
+
erhalten wir eine maximale Spannung von <math>2.23N/mm^2</math> und sind damit weit von der zulässigen Spannung <math>\sigma _{zul} = 1000 N/mm^2</math> entfernt.
 
+
  
  
Zeile 471: Zeile 566:
 
Auf den Oberschenkel wirkt, wie schon erwähnt, eine Torsion durch die Kraft F und über den Hebel des Unterschenkels.
 
Auf den Oberschenkel wirkt, wie schon erwähnt, eine Torsion durch die Kraft F und über den Hebel des Unterschenkels.
  
Aber es wirkt nicht nur die Torsion, sondern auch die Kraft F direckt, denn:
+
Aber es wirkt nicht nur die Torsion, sondern auch die Kraft F direkt, denn:
  
 
[[Bild:Oberschenkel.jpg]]  
 
[[Bild:Oberschenkel.jpg]]  
Zeile 477: Zeile 572:
  
 
Wie man sieht geht die Kraft F nicht verloren, sondern wirkt auch neben der Torsion noch als Moment wie am Unterschenkel.
 
Wie man sieht geht die Kraft F nicht verloren, sondern wirkt auch neben der Torsion noch als Moment wie am Unterschenkel.
 
  
  
Zeile 489: Zeile 583:
  
  
Die Durchbiegung berechnet mann auch auf die gleiche Art:
+
Die Durchbiegung berechnet man auch auf die gleiche Art:
  
  
Zeile 499: Zeile 593:
  
  
Jetzt Berechnen wir die Spannung im Oberschenkel aufgrund des Momentes der Kraft F, ohne Torsion:
+
Jetzt berechnen wir die Spannung im Oberschenkel aufgrund des Momentes der Kraft F, ohne Torsion:
  
 
Genau wie beim Unterschenkel:
 
Genau wie beim Unterschenkel:
Zeile 507: Zeile 601:
  
  
Setzen wir das maximale Moment nun in die Spannungsgleichung ein:
+
Setzen wir das maximale Moment nun in die Spannungsgleichung ein
  
  
Zeile 513: Zeile 607:
  
  
Erhalten wir eine maximale Spannung von <math>1.78N/mm^2</math> und sind damit natürlich ebenfalls weit von der zulässigen Spannung <math>\sigma _{zul} = 1000 N/mm^2</math> entfernt.
+
erhalten wir eine maximale Spannung von <math>1.78N/mm^2</math> und sind damit natürlich ebenfalls weit von der zulässigen Spannung <math>\sigma _{zul} = 1000 N/mm^2</math> entfernt.
 
+
  
  
Zeile 523: Zeile 616:
  
  
Torsion zu berechnen ist wesentlich schwerer als die Durchbiegung mit reiner Druck/Zugspannung.
+
Torsion zu berechnen ist wesentlich schwerer als die Durchbiegung mit reiner Druck-/Zugspannung.
  
 
Denn hier treten, wie erwähnt, Schubspannungen auf und der Körper verformt sich und verbiegt sich nicht nur.
 
Denn hier treten, wie erwähnt, Schubspannungen auf und der Körper verformt sich und verbiegt sich nicht nur.
Zeile 537: Zeile 630:
  
  
Das Schubmodul G ist hier equivalent zum E - Modul und gibt einen Wert für das "Wiederstreben" / die Steifigkeit gegenüber Verdrehung.
+
Das Schubmodul G ist hier equivalent zum E - Modul und gibt einen Wert für das "Widerstreben"/die Steifigkeit gegenüber Verdrehung.
  
  
  
Der Oberschenkel Querschnitt sieht folgendermaßen aus:
+
Der Oberschenkel-Querschnitt sieht folgendermaßen aus:
  
 
[[Bild:Oberschenkel1.jpg]]
 
[[Bild:Oberschenkel1.jpg]]
Zeile 554: Zeile 647:
  
  
Die Spannungen laufen um den Querschnitt herrum und wirken jeweils in entgegengesetzte Richtungen zueinander. Dabei treten die maximalen Spannungen jeweils in den Mitten der Seiten auf.
+
Die Spannungen laufen um den Querschnitt herum und wirken jeweils in entgegengesetzte Richtungen zueinander. Dabei treten die maximalen Spannungen jeweils in den Mitten der Seiten auf.
  
Das ist die erwähnte Scheerung, für die alle Materialien anfällig sind. Besonders trifft dies auf Materialien mit Fasern zu, also Holz und auch GFK oder CFK.
+
Das ist die erwähnte Scherung, für die alle Materialien anfällig sind. Besonders trifft dies auf Materialien mit Fasern zu, also Holz und auch GFK oder CFK.
  
  
Zeile 575: Zeile 668:
  
  
um diese Gesuchten Werte zu berechnen:
+
um diese gesuchten Werte zu berechnen:
  
 
<math>\tau_{max}:</math> max. Spannung durch Torsion
 
<math>\tau_{max}:</math> max. Spannung durch Torsion
Zeile 585: Zeile 678:
  
  
Ohne Tabellenwerk für bestimmte Querschnitte währen die Rechnungen für Flächenträgheitsmoment bei Torsion und Torsionswiederstandsmoment jetzt sehr aufwändig, allerdings auch etwas genauer, da das Tabellenwerk natürlich etwas allgemein ist, reicht hier aber völlig aus.
+
Ohne Tabellenwerk für bestimmte Querschnitte wären die Rechnungen für Flächenträgheitsmoment bei Torsion und Torsionswiderstandsmoment jetzt sehr aufwändig, allerdings auch etwas genauer, da das Tabellenwerk natürlich etwas allgemein ist, reicht hier aber völlig aus.
  
  
Zeile 592: Zeile 685:
  
  
Wenn: <math>t<<h</math> ,Also wenn die Dicke des Materials wesentlich kleiner als die Breite ist und das ist hier ja der Fall
+
Wenn <math>t<<h</math> , also wenn die Dicke des Materials wesentlich kleiner als die Breite ist, und das ist hier ja der Fall,
  
  
dann:
+
dann
  
  
Zeile 619: Zeile 712:
  
  
Ein vergleich mit der zulässigen Schubspannung zeigt, das die Differenz nicht mehr ganz so hoch ist, aber wir sind immer noch weit enrfernt:
+
Ein Vergleich mit der zulässigen Schubspannung zeigt, dass die Differenz nicht mehr ganz so hoch ist, aber wir sind immer noch weit entfernt:
  
 
<math>\tau_{zul} = 70 N/mm^2</math>  
 
<math>\tau_{zul} = 70 N/mm^2</math>  
Zeile 629: Zeile 722:
  
  
Um die komplette Durchbiegung am Freien Ende zu bestimmen fehlt noch eine Größe. Wir wissen nun zwar wie weit sich Ober und Unterschenkel aufgrund des Momentes Durchbiegen.
+
Um die komplette Durchbiegung am freien Ende zu bestimmen fehlt noch eine Größe. Wir wissen nun zwar wie weit sich Ober- und Unterschenkel aufgrund des Momentes durchbiegen.
  
  
Zeile 651: Zeile 744:
  
  
Jetzt sind wir fast Fertig, wir müssen nur noch die Durchbiegung von Unterschenkel, Oberschenkel und Verdrehung durch Torsion zusammenrechnen:
+
Jetzt sind wir fast fertig, wir müssen nur noch die Durchbiegung von Unterschenkel, Oberschenkel und Verdrehung durch Torsion zusammenrechnen:
  
  
Zeile 658: Zeile 751:
  
  
'''Die Gesamte maximale Durchbiegung am freien Ende beträgt also 0.18mm.'''
+
'''Die gesamte maximale Durchbiegung am freien Ende beträgt also 0.18mm.'''
 +
 
 +
 
  
  
Zeile 664: Zeile 759:
  
 
== Schlusswort ==
 
== Schlusswort ==
Die Verformung sowie die auftretenden Spannungen sind in diesem Fall ziemlich klein. Das liegt zum einem an dem geringen Gewicht und der geringen größe des Hexapod, sowie der sehr hohen Stabilität und Steifigkeit von GFK.
+
Die Verformung sowie die auftretenden Spannungen sind in diesem Fall ziemlich klein. Das liegt zum einem an dem geringen Gewicht und der geringen Größe des Hexapod sowie der sehr hohen Stabilität und Steifigkeit von GFK.
  
 
Mit Lexan (Plexyglas) und/oder einem schwereren Hexapoden könnte man bei zu geringem Querschnitt schon an die Grenzen stoßen.
 
Mit Lexan (Plexyglas) und/oder einem schwereren Hexapoden könnte man bei zu geringem Querschnitt schon an die Grenzen stoßen.
Zeile 670: Zeile 765:
  
  
'''Wozu ist das ganze gut?'''
+
'''Wozu ist das Ganze gut?'''
  
  
Hiermit könnt Ihr zum einen berechnen wie stark Ihr bestimmte Teile eurer Roboter auslegen müsst. Warum wesentlich mehr Material/Querschnitt nutzen als es nötig ist.
+
Hiermit könnt ihr zum einen berechnen wie stark ihr bestimmte Teile eurer Roboter auslegen müsst. Warum wesentlich mehr Material/Querschnitt nutzen als es nötig ist?
  
Gewichtsersparniss ist, so denke ich, immer von großem Vorteil, vorallem bei Akku betriebenen Robotern.
+
Gewichtsersparniss ist, so denke ich, immer von großem Vorteil, vor allem bei akkubetriebenen Robotern.
  
  
Zum anderen könnt Ihr euch eventuell den ein oder anderen Prototypen sparen, eine umfangreiche Planung kann nie verkehrt sein.
+
Zum anderen könnt ihr euch eventuell den einen oder anderen Prototypen sparen, eine umfangreiche Planung kann nie verkehrt sein.
  
  
  
 
[[Category:Mechanik]]
 
[[Category:Mechanik]]

Aktuelle Version vom 22. August 2012, 15:54 Uhr

Einleitung

Dieser Beitrag dient dem groben Verständnis der Technischen Mechanik. Natürlich kann ich hier nur einen kleinen Ausschnitt zeigen, da das Thema einfach zu umfangreich ist.

Ich werde das Prinzip der Technischen Mechanik sowie alle Berechnungen anhand des Beispiels eines Hexapods erläutern.


Am Ende dieses Beitrags solltet ihr in der Lage sein folgende Berechnungen für eigene Projekte durchzuführen:

- Kräfte und Momente am Lager berechnen.

- Spannungen im Bauteil berechnen.

- Verformung (Biegung/Torsion) und Festigkeit berechnen.

- Aussagen über die Sicherheit gegen Bruch/Versagen treffen.

- Bauteildimensionierung.




Was ist Technische Mechanik?

Die Technische Mechanik ist ein Spezialgebiet der Physik und betrachtet Zustände von Körpern unter Einfluss von Kräften und Momenten.

Dabei unterscheidet man zwischen:

1) Statik: Die Mechanik der starren Körper in Ruhe. Gehört zur Starrkörperphysik, ist aber eine Art "Wissenschaft für sich"

2) Elastomechanik, auch: Festigkeitslehre: Die Mechanik der deformierbaren Körper. Eigentlich gehören auch Flüssigkeiten und Gase dazu, aber die werden gesondert behandelt (Fluidmechanik, Thermodynamik).

3) Kinematik: Betrachtung von Bewegungen eines "Punktes", geradlinig, auf einer Kreisbahn oder beides gleichzeitig

4) Dynamik:: Jetzt bekommt der sich bewegende Punkt eine Masse ("Massenpunkt") und damit auch Impuls, Kräfte/Momente und Bewegungs- und Lageenergie.

5) Starrkörperphysik: Auf Körper mit Masse und Volumen (angenommen als homogen und unverformbar) werden Kinematik, Statik und Dynamik angewendet. Bei einer Drehbewegung kommt jetzt z.B. das Trägheitsmoment ins Spiel.

6) Schwingungslehre (Schwingung: perodische Zustandsänderung eines Systems um einen Gleichgewichtszustand)

7) Werkstoffkunde: Die Chemie der Werkstoffe. Hier kommen die Kennwerte her, mit denen die Festigkeitslehre arbeitet.

Man betrachtet (um die Verwirrung perfekt zu machen) zweidimensionale (ebene) und dreidimensionale (räumliche) Systeme. Wo auch immer möglich versucht man, zweidimensionale Rechnungen anzuwenden, denn: Bei räumlichen Systemen kommt man leider häufig nicht um Matrizenrechnung herum.

Wo und wie lerne ich mehr darüber?

Zum Verständnis mechanischer Berechnungen werden sichere mathematische Kenntnisse in den Bereichen Geometrie, Vektorrechnung und Analysis benötigt.

Wer (teure) Fachliteratur, Formeln und Tabellen sucht, wird in der Stadtbücherei fündig. Außerdem geben Firmen wie z.B. INA (Wälzlager) kleine Tabellenbücher auch als Werbegeschenke raus.

Bei Interesse an diesem Themengebiet (und entsprechender Befähigung) ist schulische Bildung in Form des Physik-Leistungskurses (Sekundarstufe II) dem Verständnis sehr zuträglich. Es sei an dieser Stelle noch erwähnt, dass die technische Mechanik (und zwar mit allen Details) der Hauptinhalt (und neben Thermodynamik der trockenste Stoff) des Maschinenbaustudiums an einer Uni oder FH ist.

Statik

Die Statik befasst sich mit dem Gleichgewicht der Kräfte/Momente am ruhenden Körper. Mit der Statik lassen sich Lagerkräfte bzw. resultierende Kräfte berechnen. Allerdings berücksichtigt die Statik weder das Material, noch die Geometrie des Querschnitts. Somit lässt sich mit der Statik keine Aussage über die Belastungen des Bauteils selbst treffen.


Verdeutlichen wir das einmal durch folgendes Beispiel:

Hexapod.jpg


Wir wollen berechnen welche/s Kraft/Moment auf den Schulterservo allein durch das Gewicht des Hexapod wirkt.


Damit eine Kraft auf einen Balken (Werkstück) wirken kann muss es gelagert (befestigt) sein, sonst würde man es ja wegschieben.


Dabei gibt es verschiedene Arten etwas zu lagern:


Lager.jpg


Loslager: Das Loslager, ein Gleitlager, kann in dieser Anordnung nur Kräfte in Y-Richtung aufnehmen.

Festlager: Das Festlager kann sowohl Kräfte in Y- als auch X-Richtung aufnehmen.

Eingespannt: Bei einer Einspannung wird zu den Kräften in X/Y-Richtung auch noch ein Moment aufgenommen.


Bei unseren Servos handelt es sich um eine Einspannung, da sie ja das Moment aufnehmen müssen, damit die Spinne stehen bleibt.


Hexapod

Wir müssen erstmal ein mechanisches Ersatzmodell (Skizze) bilden:


Hexapod-belastung2.jpg

Dieser Artikel ist noch lange nicht vollständig. Der Auto/Initiator hofft das sich weitere User am Ausbau des Artikels beteiligen.

Das Ergänzen ist also ausdrücklich gewünscht! Besonders folgende Dinge würden noch fehlen:

Dieser Absatz war stark fehlerbehaftet und wird z.Zt. überarbeitet --Max2k 03:41, 16. Mär 2008 (CET)


Zunächst einmal legen wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem fest und zeichnen es in die Skizze ein [math]\uparrow[/math] y-Richtung [math]\rightarrow[/math] x-Richtung

Die Gewichtskraft [math]F_G[/math] resultiert aus dem Gewicht (in kg) multipliziert mit der Erdbeschleunigung [math]g=9,81 m/s^2[/math],

denn: [math]F=m\cdot a[/math] , also Kraft = Masse * Beschleunigung.

Als nächstes folgt das sogenannte Freischneiden des Systems. Man darf dazu Teile des Systems wegschneiden und stattdessen die an der Schnittstelle wirkenden Kräfte antragen

Wir betrachten zunächst einmal nur ein Bein des Bots und die Achse des Servos, Punkt A.

Wir dürfen für das Kräftegleichgewicht[math]F_G[/math] vom Körperschwerpunkt parallel in den Punkt A (Servo) verschieben. F_G wirkt auf alle Beine. Für ein einzelnes Bein fließt F_G in die Körperkräfte in y-Richtung mit ein (wie genau hängt noch von anderen Bedingungen ab, dazu gleich mehr)

Wir müssen Lagerkräfte F_AX und F_AY antragen, und außerdem Körperkräfte, die den Punkt A an Ort und Stelle im Gleichgewicht halten.

Jetzt haben wir das Bein vom Körper freigeschnitten. Von der Beinkraft wissen wir noch nicht, in welche Richtung sie wirkt, also zerlegen wir sie in eine x- und eine y-Komponente.

Nun müssen wir die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen: (Also die Summe aller Kräfte in x/y-Richtung und der Momente um den Punkt A = 0)

(1)Summe der Kräfte in x-Richtung = 0: F_(A,x)+F_(Körper,x) +F_(B,x)=0


(2)Summe der Kräfte in y-Richtung = 0: F_(A,y)+F_(Körper,y) +F_(B, y) - F_G = 0


(3)Summe der Momente im Punkt A= 0: M_Körper - F_(B,x) * 0,075m + F_(B,y) * 0,05m


Nun sehen wir, dass wir zu viele Unbekannte haben, um die Gleichungen auflösen zu können. Das bedeutet: Zusätzliche Informationen sammeln bzw. zusätzliche Gleichungen aufstellen.

In jedem einzelnen Fall müssen wir die Kräfte und Momente im Körper bestimmen. Diese sind abhängig von:

- der Anzahl der Beine, die den Boden berühren (Kräftegleichungen)

- der Position am Körper der Beine, die den Boden berühren

Die Kräfte F_Bein,x und F_Bein,y können wir als Funktion von Anstellwinkel und F_Bein ausdrücken:

(5) F_B,y = F_B * sin(alpha)

(6) F_B,x = F_B * cos(alpha)

alpha ist der Winkel zwischen: der Geraden zwischen Auflagepunkt des Beinendes und Punkt A und der Ebene "Boden". Der Kraftvektor F_Bein zeigt entlang dieser Geraden.

Stillstand:

Wir machen noch eine zusätzliche Annahme: In x-Richtung können die Füße des Bots keine Kräfte an den Boden übertragen, es gilt:

(7)F_B,x=0

Man kann sich das so vorstellen: Selbst wenn der Bot auf einer glatten Oberfläche (Eis) steht, darf er keine "Grätsche" machen. Für das Moment gilt (7) in (3).






Alter Text

somit gilt: [math]F_G = F_{AY}[/math] Aus (2) erhalten wir: [math]F_B = F_G[/math]

da wir davon ausgehen, dass die Spinne immer mit mindestens 3 Beinen auf dem Boden steht, rechnen wir mit der Ersatzkraft: [math]F = \frac{1}{3}F_B = \frac{1}{3}F_G = 1.8N[/math]


Setzen wir nun die Ersatzkraft F, die wir aus (2) berechnet haben, in (3) ein, erhalten wir:

[math]M_A = F \cdot (15mm + 60mm) \Rightarrow M_A = 135N/mm = 13.5N/cm[/math]


Der Schulterservo muss also mindestens 13.5N/cm haben.

Mit einem Sicherheitsfaktor von 1.5 multipliziert erhalten wir: [math]13.5N/cm \cdot 1.5 \approx 20N/cm[/math]

Elastomechanik Modellfindung

Für weitere Berechnungen, wie Verformung und Spannungen im Material etc. braucht man nun die Elastomechanik. Die Elastomechanik befasst sich mit der Berechnung der Verformung und Festigkeit und ermöglicht Aussagen über die Sicherheit gegen Versagen und Bruch.


Verdeutlichen wir das wieder am Beispiel des Hexapod:

Wenn der Hexapod läuft bewegt er sich ja nicht "flüssig" wie ein Roboter mit Rädern, sondern "ruckartig".

Wir gehen hier mal von einer 3:3 Schrittfolge aus, Infos zu Schrittfolgen hier: Spinnenbeine (Hexapods).


Jetzt sind 2 Fälle denkbar:

Der Hexapod steht mit drei Beinen auf dem Boden und bewegt sich über diese nach vorne:

1)Bevor er jetzt mit den angehobenen Beinen wieder auftritt muss er zum Stillstand kommen.

2)Der Hexapod tritt mit den 3 angehobenen Beinen noch in der Bewegung auf und kommt plötzlich zum Stillstand.


Variante 2 würde ich bevorzugen, da so eine schnellere Fortbewegung möglich ist.

In beiden Fällen müssen 3 Beine die Querkräfte aufnehmen, in Fall 2 treten aber wesentlich höhere Querkräfte auf, da das Abbremsen über einen kürzeren Zeitraum geschieht.


Hier eine Skizze zur Verdeutlichung:

Querkraft.jpg


Was ist das Gefährliche an Querkräften?

- Die Querkraft greift über einen dünneren Querschnitt an (dazu später mehr)

- Die Querkraft sorgt für eine Torsion des Oberschenkels (dazu später mehr)




Physik-Exkurs

Wir müssen nun berechnen wie hoch diese Querkräfte sind, dazu brauchen wir etwas Physik!


Die Kraft in Querrichtung hängt von der Beschleunigung ab, die die Spinne beim Auftreten negativ und Losgehen positiv erfährt. Die höhere von beiden ist logischerweise die beim Auftreten, denn sie ist "ruckartiger", also in einem kürzerem Zeitraum. Deshalb kann man die Beschleunigung und die daraus resultierende Querkraft beim Losgehen ignorieren.


[math]F=m\cdot a[/math] , Kraft = Masse * Beschleunigung


[math]a = \frac{\Delta v(t)}{\Delta t}[/math] , Beschleunigung = Geschwindigkeitsunterschied pro Zeitraum


Die Beschleunigung hängt von der Geschwindigkeit ab. Die Geschwindigkeit wird wiederum von der Schrittweite und der Geschwindigkeit der Servos definiert, denn:


[math]V = \frac{s}{t}[/math] , Geschwindigkeit = Weg / Zeit


Um diesen Gedankengang zu verdeutlichen:

Podlegtop.jpg


Die Schrittweite bzw. der Weg S hängt vom Radius [math]r_{max}[/math] und dem Winkel [math]\delta_{max}[/math] ab.


Der Winkel [math]\delta_{max}[/math] bildet sich zwischen den beiden Pfeilen [math]r_{max}[/math], somit ergibt sich mit Schrittweite S ein gleichschenkeliges Dreieck.


Im Beispielsfall beträgt [math]r_{max} = 80mm[/math] und [math]\delta_{max} = 30[/math]°.


Verwendet man nun den Cosinussatz

Tr5s2p2.gif

[math]c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * \cos \gamma[/math]


und setzt die Werte ein, erhält man:

[math]s = \sqrt{r_{max}^2 + r_{max}^2 - 2r_{max}r_{max} * \cos \delta _{max}}[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]s \approx 40mm[/math]


Als Servo-Geschwindigkeit hab ich in diesem Fall 0.2s/60° gefunden.


Somit haben wir: [math]V = 40mm/0.1s[/math]


Jetzt müssen wir aber auch noch Anheben und Absenken des Beines dazu rechnen, da es ja nicht komplett simultan zur Drehbewegung geschieht, denn das Bein muss erst leicht angehoben sein, um es zu drehen.


Also nehmen wir einfach mal: [math]V = 40mm/0.15s[/math].

Die Servogeschwindigkeit wird wohl nicht erreicht werden, aber das ist egal, denn so würde die Belastung ja nur kleiner werden!!!


Rein theoretisch müsste die Spinne also etwa folgende Geschwindigkeit erreichen:

[math]V = 40mm/0.15s = 0.96km/h[/math]



Die Beschleunigung tritt nun also immer dann ein, wenn die Spinne auftritt und somit von 0.267m/s auf 0m/s gebremst wird.

Der Zeitraum, in dem die negative Beschleunigung auftritt, ist die Zeit in der die Spinne das Bein anhebt oder senkt, also 0.05s.


Nun kann man über den Impulssatz: [math]p = m * v = 0.14685 \frac{kg \cdot m}{s}[/math] oder die Beschleunigung [math]a = \frac{\Delta v(t)}{\Delta t} = 5.34m/s^2[/math] rechnen,

ich nehme den Impuls, bin's halt so gewöhnt ...


[math]F = \frac{p}{\Delta t} = \frac{0.14685 Kg \cdot m/s}{0.05s} = 2.937N[/math]


Wie wir oben schon gesehen haben verteilt sich die Querkraft auf 3 Beine [math]\Rightarrow[/math] 1 N pro bein!




Elastomechanik - Die Berechnungen

Damit beenden wir den Physik-Exkurs und kommen zurück zur Elastomechanik. Da wir nun die Querkräfte berechnet haben, die auf ein Bein wirken, haben wir nun fast alle Daten, die wir zur Berechnung der Verformung und Belastung benötigen.


Was fehlt nun noch?

Wir müssen festlegen, aus welchem Material wir die Teile fertigen, denn Stahl ist z.B. stabiler als Lexan (Polycarbonat) und wird sich auch weniger verformen.


Außerdem müssen wir uns noch auf einen Querschnitt, also die Dimensionierung der Beine einigen, was auch einen erheblichen Einfluss auf Belastbarkeit und Verformung hat.


Materialkennwerte


Jedes Material hat andere Eigenschaften. Das eine ist sehr hart und damit mit sehr hohen Kräften belastbar, dadurch aber fast nicht verformbar und bricht bei Überlastung sofort. Das andere Material ist zäh und kann sich leicht elastisch verformen ohne zu brechen.

Diese Materialkennwerte findet man in Tabellen und im Internet.


Zug / Druck


Die Eigenschaften eines Werkstoffes unter Zug/Druck spiegeln sich in folgenden Werten wider:

E - Das Elastizitätsmodul

[math]\sigma _{zul}[/math] - Die zulässige Spannung.


Das E-Modul hat folgenden Zusammenhang:

[math]E = \frac{\sigma}{\epsilon}[/math]


[math]\epsilon = \frac{\Delta l}{l_0}[/math] , die Dehnung.

Ist die Ausgangslänge [math]l_0 = 100mm[/math] und die Länge nach Einwirkung einer Kraft [math]l_1 = 110mm[/math], dann ist die Längendifferenz [math]\Delta l = 10mm[/math]. Daraus folgt: [math]\epsilon = \frac{10mm}{100mm} = 0.1 = 10%[/math]


[math]\sigma = \frac{F}{A}[/math] , Spannung = Kraft pro Fläche (Querschnittfläche)


Das Elastizitätsmodul eines Materials ist die Spannung, bei der sich das Werkstück in seiner Länge verdoppeln würde. Je mehr Widerstand ein Material seiner Verformung entgegensetzt, umso höher ist das E-Modul. Stahl hat somit ein sehr hohes E-Modul und Gummi z.B. ein sehr kleines.


[math]\sigma _{zul}[/math] - Die zulässige Spannung ist ein in Versuchen ermittelter Wert, der angibt, welche Spannungen, also Kraft pro Fläche, das Material in Zug- und Druckrichtung verträgt.


Schubspannungen (Torsion)


Verdrehen/torieren wir ein Werkstück wie ein Handtuch, das wir auswringen, treten Schubspannungen auf. Das ist später bei dem Oberschenkel der Fall, durch den Hebel des Unterschenkels verdrehen wir den Oberschenkel. Schubspannungen sind dabei die kritischsten, sie treten auf, wenn sich das Material an einer Stelle in entgegengesetzte Richtungen verformt und sich somit abschert, alle Materialien sind sehr anfällig gegen Schubspannungen.


Die Eigenschaften eines Werkstoffes unter Schubspannung spiegeln sich in folgenden Werten wider:


G - Das Schubmodul, equivalent zum E-Modul.


[math]G = \frac{\tau}{\gamma}[/math]


[math]\tau[/math]: Die Schubspannung

[math]\gamma[/math]: Der Scherwinkel


Flächenträgheitsmoment


Trägheit bedeutet das "Bestreben" des Körpers in seinem Bewegungszustand zu verharren. Je höher die träge Masse eines Körpers ist, umso weniger verändert eine auf ihn einwirkende Kraft seinen Bewegungszustand.


Das Flächenträgheitsmoment ist equivalent dazu das "Bestreben" eines Körpers sich einer Biegung zu widersetzen. Somit ist das Flächenträgheitsmoment ein Maß für die Steifigkeit eines Querschnittes gegen Biegung.


Ein ganz einfaches Beispiel:

Ihr nehmt ein Lineal und biegt es über den schmalen Querschnitt ... kein Problem.

Versucht das gleiche jetzt mal hochkant.


Das Flächenträgheitsmoment berechnet sich je nach Geometrie des Querschnittes unterschiedlich, die Formeln hierzu finden sich in Tabellen und im Internet.


In unserem Beispiel des Hexapods ist der Querschnitt der Beine ein Rechteck:


Flächenträgheit.jpg

Da die Achsen direkt im Schwerpunkt liegen, müssen wir den Schwerpunkt nicht weiter beachten. Wie mann anhand der Formeln sieht wird es wesentlich schwerer sein das Werkstück um die Z-Achse zu biegen, da Izz wesentlich größer als Iyy wird. Allerdings interessiert uns in unserem Fall nur Iyy.



Bei aus mehreren Teilen zusammengesetzten Querschnitten, also z.B. T-Träger oder doppelt ausgelegte Oberschenkel eines Hexapod muss etwas umständlicher gerechnet werden.


Das ist für die Beispielsberechnung nicht weiter relevant, aber eventuell braucht ihr es mal selbst.

Flächenträgheit3.jpg

Oben ist die doppelte Auslegung eines Oberschenkels und unten ein T-Träger.

Wie man direkt erkennen kann hat der obere Fall einen Vorteil, wir wissen wo der Schwerpunkt S liegt, bei b/2 und h/2.

Des weiteren wissen wir auch, wo die Schwerpunkte der beiden einzelnen Teile liegen.

Das vereinfacht die Rechnung ein wenig, denn wir müssen nicht erst den Schwerpunkt bestimmen.

[math]I_{yys} = (I_{yy1} + z_{i1}^2 \cdot A_1) + (I_{yy2} + z_{i2}^2 \cdot A_2)[/math]

[math]I_{zzs} = I_{zz1} + I_{zz2}[/math]



Im unteren Fall wissen wir zwar auch, wo die Schwerpunkte der einzelnen Flächen liegen, aber nicht wo der Gesamtschwerpunkt liegt.

Aufgrund der Symmetrie können wir die Z-Achse direkt durch den Schwerpunkt legen, aber die Y-Achse müssen wir erstmal oben eintragen, denn wir wissen nicht, wo die Z-Koordinate des Schwerpunktes liegt.


Also müssen wir zuerst den Schwerpunkt berechnen:

[math]y_s = \frac{\Sigma y_i \cdot A_i}{\Sigma A_i} = 0[/math]

[math]z_s = \frac{\Sigma z_i \cdot A_i}{\Sigma A_i} = \frac{z_1 \cdot A_1 + z_2 \cdot A_2}{A_1 + A_2}[/math]


Wenn [math]z_s[/math] berechnet ist wissen wir wieder wie groß [math]z_{i1}[/math] und [math]z_{i2}[/math] ist und können wieder rechnen:

[math]I_{yys} = (I_{yy1} + z_{i1}^2 \cdot A_1) + (I_{yy2} + z_{i2}^2 \cdot A_2)[/math]

[math]I_{zzs} = I_{zz1} + I_{zz2}[/math]

Genug Theorie... Jetzt geht's los!

Da wir nun alle nötigen Werte und Grundkenntnisse haben können wir endlich mit der Berechnung der Verformungen und Spannungen anfangen.


Hier nochmal die Skizze:

Querkraft.jpg


Was passiert? Der Unterschenkel wird von vorne mit der Kraft belastet und sich daher samt Oberschenkel nach hinten durchbiegen.

Zusätzlich überträgt der Unterschenkel als Hebel ein Torsionsmoment auf den Oberschenkel.


Aber eins nach dem anderen!


Verformung und Belastung des Unterschenkels


Als Material für alle Beine nehmen wir 3mm GFK (glasfaserverstärkter Kunststoff).


Die Materialkennwerte von GFK:

GFK.jpg


Das Flächenträgheitsmoment:

Iyy.jpg



Da wir nun alle erforderlichen Werte bestimmt haben können wir die Durchbiegung am freien Ende berechnen:

Wmax1.jpg


Die maximale Durchbiegung am freien Ende ist [math]w_{max}[/math].

Um die Formel dazu nicht jedesmal herleiten zu müssen gibt es wieder ein Tabellenwerk:

Tabbelwerk


Aus dem Tabellenwerk entnehmen wir:

[math]w_{max} = \frac{F \cdot l^3}{3 \cdot E \cdot I} = \frac{F \cdot 100^3}{3 \cdot E \cdot I_{yy}} = 0.11mm[/math]


Der Unterschenkel biegt sich also schon einmal um 0.11mm durch.



Jetzt berechnen wir die Spannung, die im Unterschenkel auftritt.

Dazu muss man schneiden, zur Erklärung:


Schneiden bedeutet man "zerschneidet" das Werkstück/den Balken, um die inneren Kräfte, die im Balken selbst wirken, freizulegen. Die Regel ist, man schneidet immer vor und nach einer Kraft bzw. Änderung. Eine Änderung kann hierbei ein Knick im Balken, ein Gelenk etc. sein.

Schneiden.jpg


Wie schon in der Statik müssen wir wieder die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen.

Allerdings nur die des Momentes, da uns ja nur die Biegespannungen interessieren, die durch das Moment hervorgerufen werden, klarer wird das, wenn wir uns die Gleichung der maximalen Spannung anschauen:


[math]\sigma_{xx max}(x, z) = \frac{M_{y max}}{I_{yy}} \cdot z_{max}[/math]


Wie wir sehen spielt hier nur das maximale Moment eine Rolle. Das maximale Moment tritt logischerweise am Lager, also dem Servo auf, denn um so größer [math]x_1[/math] wird umso stärker wird das Moment:


[math]M_{y(max)} = M_{y(x1=100mm)} \Rightarrow M_{y(max)} = 1N * 100mm = 100N/mm[/math]


Setzen wir das maximale Moment nun in die Spannungsgleichung ein


[math]\sigma_{xx max}(x, z) = \frac{M_{y(max)}}{I_{yy}} \cdot z_{max} = \frac{100N/mm}{67.5mm^4} \cdot 1.5mm = 2.23N/mm^2[/math]


erhalten wir eine maximale Spannung von [math]2.23N/mm^2[/math] und sind damit weit von der zulässigen Spannung [math]\sigma _{zul} = 1000 N/mm^2[/math] entfernt.


Verformung und Belastung des Oberschenkels


Auf den Oberschenkel wirkt, wie schon erwähnt, eine Torsion durch die Kraft F und über den Hebel des Unterschenkels.

Aber es wirkt nicht nur die Torsion, sondern auch die Kraft F direkt, denn:

Oberschenkel.jpg


Wie man sieht geht die Kraft F nicht verloren, sondern wirkt auch neben der Torsion noch als Moment wie am Unterschenkel.


Durchbiegung / Moment


Daher müssen wir zunächst mal die Durchbiegung des Oberschenkels berechnen:


Da der Querschnitt der gleiche ist, ist [math]I_{yy} = 67.5mm^4[/math]


Die Durchbiegung berechnet man auch auf die gleiche Art:


[math]w_{2max} = \frac{F \cdot l^3}{3 \cdot E \cdot I} = \frac{F \cdot 80^3}{3 \cdot E \cdot I_{yy}} = 0.057mm[/math]


Der Oberschenkel biegt sich also durch das Moment um 0.057mm durch.


Jetzt berechnen wir die Spannung im Oberschenkel aufgrund des Momentes der Kraft F, ohne Torsion:

Genau wie beim Unterschenkel:


[math]M_{y2(max)} = M_{y(x2=80mm)} \Rightarrow M_{y2(max)} = 1N * 80mm = 80N/mm[/math]


Setzen wir das maximale Moment nun in die Spannungsgleichung ein


[math]\sigma_{xx max}(x, z) = \frac{M_{y2(max)}}{I_{yy}} \cdot z_{max} = \frac{80N/mm}{67.5mm^4} \cdot 1.5mm = 1.78N/mm^2[/math]


erhalten wir eine maximale Spannung von [math]1.78N/mm^2[/math] und sind damit natürlich ebenfalls weit von der zulässigen Spannung [math]\sigma _{zul} = 1000 N/mm^2[/math] entfernt.


Torsion


Jetzt kommt der interessante Teil des Oberschenkels, die Torsion.


Torsion zu berechnen ist wesentlich schwerer als die Durchbiegung mit reiner Druck-/Zugspannung.

Denn hier treten, wie erwähnt, Schubspannungen auf und der Körper verformt sich und verbiegt sich nicht nur. Will man das ganz genau berechnen ist es ein erheblicher Rechenaufwand mit einigen Umformungen von Gleichungen, Integralen etc...

Deswegen beschränke ich mich hier auf in Tabellen aufgeführte Näherungswerte für bestimmte Querschnitte, die bei weitem genau genug sind!!!


Die Materialkennwerte für Torsion:

Gfk3.jpg


Das Schubmodul G ist hier equivalent zum E - Modul und gibt einen Wert für das "Widerstreben"/die Steifigkeit gegenüber Verdrehung.


Der Oberschenkel-Querschnitt sieht folgendermaßen aus:

Oberschenkel1.jpg



Üben wir nun eine Torsion auf den Oberschenkel aus, passiert folgendes:


Oberschenkel2.jpg


Die Spannungen laufen um den Querschnitt herum und wirken jeweils in entgegengesetzte Richtungen zueinander. Dabei treten die maximalen Spannungen jeweils in den Mitten der Seiten auf.

Das ist die erwähnte Scherung, für die alle Materialien anfällig sind. Besonders trifft dies auf Materialien mit Fasern zu, also Holz und auch GFK oder CFK.



Um nun die Torsion zu berechnen benötigen wir wieder einige Werte die Bezug auf das Material und den Querschnitt nehmen:


Wir benötigen also nun folgende Werte:

[math]I_T:[/math] Flächenträgheitsmoment bei Torsion

[math]W_T:[/math] Torsionswiderstandsmoment

[math]M_T:[/math] Torsionsmoment


um diese gesuchten Werte zu berechnen:

[math]\tau_{max}:[/math] max. Spannung durch Torsion

[math]\zeta:[/math] Verdrillung

[math]\phi:[/math] Verdrehwinkel


Ohne Tabellenwerk für bestimmte Querschnitte wären die Rechnungen für Flächenträgheitsmoment bei Torsion und Torsionswiderstandsmoment jetzt sehr aufwändig, allerdings auch etwas genauer, da das Tabellenwerk natürlich etwas allgemein ist, reicht hier aber völlig aus.


Also das Tabellenwerk sagt:


Wenn [math]t\lt\lth[/math] , also wenn die Dicke des Materials wesentlich kleiner als die Breite ist, und das ist hier ja der Fall,


dann


[math]I_T = \frac{1}{3} \cdot h \cdot t^2 = 270mm^4[/math]

[math]W_T = \frac{1}{3} \cdot h \cdot t^3 = 90mm^4[/math]



Gut, jetzt brauchen wir das Torsionsmoment [math]M_T:[/math]


[math]M_T = F \cdot r = 1N * 100mm = 100N/mm[/math] , Moment ist Kraft * Hebelarm und hier ist ja der Unterschenkel (100mm) der Hebelarm.


Jetzt können wir die max. Spannung berechnen:

[math]\tau_{max} = \frac{M_T}{W_T} = 1.11N[/math]



Ein Vergleich mit der zulässigen Schubspannung zeigt, dass die Differenz nicht mehr ganz so hoch ist, aber wir sind immer noch weit entfernt:

[math]\tau_{zul} = 70 N/mm^2[/math]

[math]\tau_{max} 1.11 N/mm^2[/math]



Um die komplette Durchbiegung am freien Ende zu bestimmen fehlt noch eine Größe. Wir wissen nun zwar wie weit sich Ober- und Unterschenkel aufgrund des Momentes durchbiegen.


Aber der Oberschenkel verdreht sich ja auch, was sich natürlich auch auf die maximale Durchbiegung am freien Ende auswirkt:


Verdrehung.jpg


[math]\zeta = \frac{M_T}{G \cdot I_T} = \frac{100N/mm}{5600N/mm^2 \cdot 270mm^4} = 6.614 \cdot 10^{-5}[/math]

[math]\varphi = \zeta \cdot L = 5.291 \cdot 10^{-3}[/math] ,L: Länge das Oberschenkels, also 80mm


Der Oberschenkel verdreht sich also um 0.00529°



Jetzt sind wir fast fertig, wir müssen nur noch die Durchbiegung von Unterschenkel, Oberschenkel und Verdrehung durch Torsion zusammenrechnen:


[math]w_{ges} = w_{max} + w_{2max} + (Hypothenuse \cdot \sin\varphi) = 0.11mm + 0.057mm + 0.00923mm = 0.17623mm \approx 0.18mm[/math]


Die gesamte maximale Durchbiegung am freien Ende beträgt also 0.18mm.




Schlusswort

Die Verformung sowie die auftretenden Spannungen sind in diesem Fall ziemlich klein. Das liegt zum einem an dem geringen Gewicht und der geringen Größe des Hexapod sowie der sehr hohen Stabilität und Steifigkeit von GFK.

Mit Lexan (Plexyglas) und/oder einem schwereren Hexapoden könnte man bei zu geringem Querschnitt schon an die Grenzen stoßen.


Wozu ist das Ganze gut?


Hiermit könnt ihr zum einen berechnen wie stark ihr bestimmte Teile eurer Roboter auslegen müsst. Warum wesentlich mehr Material/Querschnitt nutzen als es nötig ist?

Gewichtsersparniss ist, so denke ich, immer von großem Vorteil, vor allem bei akkubetriebenen Robotern.


Zum anderen könnt ihr euch eventuell den einen oder anderen Prototypen sparen, eine umfangreiche Planung kann nie verkehrt sein.


LiFePO4 Speicher Test