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	* Nur eine hohe Auflösung der Soll-Bahn ermöglicht eine "Oberwellen arme" Ist-Bahn.		* Nur eine hohe Auflösung der Soll-Bahn ermöglicht eine "Oberwellen arme" Ist-Bahn.
	:- Der RoBo-Mac Bahngenerator erzeugt Bahnen mit beliebig geringer Schrittweite.		:- Der RoBo-Mac Bahngenerator erzeugt Bahnen mit beliebig geringer Schrittweite.
		+
		+
		+
		+	=Bézier Kurven Generator =
		+	Der Bahngenerator des Baukastens erzeugt ein Soll-Bahnprofil aus frei wählbaren Stützpunkten. Liegen die Stützpunkte (zu-) weit auseinander, beispielsweise um Pick & Place Punkte miteinander zu verbinden, so kann dies im Ergebnis in eine "wenig kontinuierliche Bewegung" des TCP führen. Die Bewegungsbahn weist Knickstellen auf, mathematisch wird dies als nicht stetige Änderung der Bahn-Krümmung beschrieben.
		+
		+	Bézier Kurven können Ihre Krümmung stetig ändern. Mit nur 4 "Steuerpunkten" lassen sich die erstaunlichsten Kurven formen:
		+	* die anderen beiden bestimmen die "Freiform" der Bahn mit ihrer stetig geänderten Krümmung. Diese beiden Steuerpunkte werden auch als "Anfasser" (engl. Handle) bezeichnet.
		+	* Verbindet man die Anfasser mit "ihrem" Ursprungspunkt der Kurve so erhält man eine Art "Joy-Stick" – mathematisch eine Strecke, die im Einlaufpunkt zugleich Tangente der Bèzier Kurve ist. Die Kurve folgt diesen Anfassern. Sie läuft einerseits tangential ein, andererseits bestimmt die Länge der Anfasser Kurvenlänge und Kurvenkrümmung.
		+	* Beide Anfasser haben Wirkung auf die Gesamtkurve, jedoch ist die Wirkung in dem Kurverbereich größer, der die jeweilige Tangente bildet.
		+
		+	Bézier Kurven haben also die wunderbare Eigenschaft nicht nur 2 Punkte zu verbinden:
		+	* Liegen die Anfasser in der Vektor-Orientierung einer anderen, anschließenden Kurve oder Geraden – beispielsweise den Pick & Place Vektoren so gehen beide Kurven nahtlos ineinander über. Anders ausgedrückt:
		+	* Zwei gegebene Bahn-Segmente, können durch Bézier-Splines "glatt" verbunden werden.
		+
		+	Hintergrund Know-how zu Bézier unter http://www.cnc-mac.de/html/bezier___spline_.html. Hier finden Sie auch Spline-Theorie zu anderen Kurven sowie eine Studie mit dem Excel-Quellcode zu Bézier und Hermite; -  * Bézier Kurven laufen hoch präzise in ihren eigenen Tangentenpunkt ein; trotzdem ist die eigentliche Kurve, wenngleich exakt reproduzierbar manuell nur schwer beherrschbar. Allein die Kombination aus unterschiedlichen Anfasser-Längen führt in eine unendliche Kurvenvielfalt.
		+	* : Wird die Anfasser-Länge gleich '0', so wird auch die tangentiale Einlauflänge der Kurve gleich '0', die Kurve knickt ab.
		+	* : Werden die Anfasser "länger", so wird dies auch die Kurve. Je nach Winkellage der Anfasser kann sie sich vom "Hufeisen" über ein spitzwinkliges Dreieck zur "Schleife" wandeln.
		+	* : Sie wird jedoch nie über das aus den 4 Steuerpunkten gebildete Geviert hinauskragen,
		+	das macht sie so sympathisch!
		+
		+	* Der RoBo-Mac Bezier Generator errechnet aus den zu verbindenden Bahnsegmenten zunächst trigonometrisch die Winkellage der Tangenten. Hieraus, sowie dem Abstand der Bahn-Segmente bestimmt er "geeignete" Anfasser-Längen. Diese Zusammenhänge sind nicht linear, ich habe sie in o.g. Studie mit dem Excel-Quellcode offengelegt.
		+
		+	* Mathematisch betrachtet lassen sich mit Bézier lediglich Ovale, jedoch keine "echten" Kreise und Ellipsen erzeugen. Die Abweichungsfehler sind abhängig vom Öffnungswinkel der Tangenten. Für Winkel unter 90° * Mit dieser Einschränkung lassen sich tangential einlaufende Kreis- bzw. Ellipsen-ähnliche segmente und natürlich Parabeln in beliebiger 3D-Lage gut realisieren.
		+
		+	==Bèzier & 3D ==
		+	Die klassische Bézier Kurve liegt 2 dimensional in der Ebene. Es liegt nun nahe, die im 3D Raum liegenden Tangenten der zu verbindenden Bahnsegmente per Winkeltransformation in die Ebene zu drehen, die Kurve zu berechnen und das Ergebnis zurück zutransferieren. Mit der Tangente eines Bahnsegments ist dies gewiß möglich. Das andere wird realistisch betrachtet jedoch wohl kaum in dieser Ebene liegen. Wir brauchen also eine Lösung die allgemeingültig beliebige Vektororientierungen im 3D Raum verbindet:
		+
		+	* Projiziert man die Tangenten der zu verbindenden Bahnsegmente in die Ebenen des XYZ Koordinatensystems, so erhält man 3 Vektorpaare und mithin 3 Bézier Kurven. Diese 3 Kurven lassen sich zu einer gemeinsamen überlagern, die einen "glatten" Übergang in die Vektoren der zu verbindenden Bahnsegmente bietet. Die Tangenten dieser Bahnsegmente können hierbei weitestgehend beliebig im 3D Raum orientiert sein.
		+
		+	Der Bézier Bahngenerator errechnet die Tangentenorientierung aus der Raumpunkt Differenz der beiden jeweils letzten Stützpunkte am Ende/Anfang der zu verbindenden Segmente. Wenngleich der Algorithmus die Problematik "Division durch 0" beherrscht, sollten mindestens 2 von 3 Differenzwerten (X/Y/Z) den Betrag von 'einigen Zehntel' aufweisen. Werden 2 Differenzwerte "0" so kann dies in sehr unerwartete Kurven führen.
		+
		+	Fazit:
		+	Bézier Kurven laufen hoch präzise in ihren eigenen Tangentenpunkt ein; die Kurve selber ist, wenngleich exakt reproduzierbar jedoch nur bedingt auf eine "exakte Wunschbahn" zu bringen. Muß die Bahn präzise über einen oder mehrere bestimmte Raumpunkte geführt werden, so wird sie in Segmentabschnitte geteilt. Mehrere Bézier Kurven verbinden diese Raumpunkte als "Cascadierter Spline". CAD/CAE Systeme arbeiten auf dieser Technologie-Basis. Vgl. http://www.cnc-mac.de/html/bezier___spline_.html.
		+
		+	== Bézier-Kreise & Ellipsen ==
		+	* Je Raumpunkt bestimmt ein gemeinsames Stützpunkt-Paar die Orientierung der ein- und auslaufenden Kurve. Ab 3 Raumpunkten läßt sich ein nahezu exakter Vollkreis, ab 4 Raumpunkten eine Ellipse mit den Vorschlagswerten des Bahngenerators formen.

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Version vom 21. April 2016, 14:22 Uhr

Vorwort

Irgendwie hatte sich aus Diskussionen zur Knickarm-Robotermechanik die Frage ergeben, …"und wie berechnen Sie das?" Meine Antwort war, "Mit EXCEL® ist das recht einfach. Ganz so einfach war es dann doch nicht. Im Internet findet sich zwar einiges zum Thema, aber wenig Problem orientiertes im Focus Robotic. Meine Recherchen führten mich so zunächst in die Entwicklung Robotic orientierter Algorithmen.

• Entstanden ist hieraus ein Mathematischer 3D Gelenk-Baukasten. Eine kostenlose Test und Demo-Version erhalten Sie im Download von meiner Web-Site.

• Hier, im Teil 2 finden Sie Praxis orientierte Problemlösungen. Besprochen werden ein 3D Bahngenerator und die aus der "Sollbahn" berechneten Winkel der Knickarme.

Hierzu sollten Sie die kostenlose Test und Demo-Version downloaden.

• Teil 1 dieses Artikels Inverse Kinematik 1 – Theorie (Tutorial) gibt theoretischen Back-Ground. Hier finden Sie Hintergrundinformation zu Problemen der Kinematik, theoretische Lösungsansätze und die Mathematik der Winkeltransformation. Für die Nutzung des Gelenkbaukastens ist es nicht unbedingt erforderlich, dieses zu lesen – es kann aber hilfreich sein!

Mathematischer 3D Gelenk-Baukasten

Dieser Artikel ist ein (weitestgehnd) produkt-neutraler Handbuch–Auszug; er orientiert sich jedoch an der auf EXCEL®-Basis realisierten Problemlösung.

Systemüberblick

Der Baukasten ist aus der Aufgabe entstanden, anwenderorientiert und Hardware neutral

• Rotations- und Teleskopachsen für Knickarm-Robotersysteme beliebiger Bauart & Geometrie - ggf. auf Portal verfahrbar - mathematisch zusammenzustellen, um deren Bewegungsbahn 3D zu simulieren,

• eine gegebene Hardware hierzu produktspezifisch zu parametrieren
• oder durch Auswahl geeigneter Hardware Komponenten ein optimales Gesamtsystem zu konfigurieren.

• Gelenk-Winkel und XYZ-Koordinaten wahlweise direkt oder invers zu berechnen und
• das Roboter-System im 3D-Raum zu visualisieren.
• In Anlehnung an die 8-Achsen Bahnsteuerung RoBo-mac's berechnet der Gelenk-Baukasten 8 Achsen mit jeweils 2 Freiheitsgraden (Teleskop-Dreh-Achse). Der Algorithmus ermöglicht beliebig viele kaskadierbare Achsen und ist somit erweiterbar.
• Das Ergebnis steht numerisch (16-stellig / Fließkomma 15 Ziffern) zur Verfügung und wird ergänzend als 3D Grafik visualisiert.

Direkte Kinematik

Die kinematischen Grenzen werden durch Parametrierung der Achs-Längen, ihrer XYZ-Grundorientierung und der max. Achs-Drehwinkel definiert. An- und Abtrieb jedes Gelenkes kann unter beliebigem Winkel im Raum stehen. Die Werte werden über Schieber verändert und Real-Time visualisiert.

Inverse Kinematik

Um trotz Überbestimmung aus theoretisch unendlich vielen Winkel-Kombinationen möglichst geeignete Vektorlagen der Roboterarme zu berechnen verfolgt RoBo-mac mehrere, frei wählbare Bewegungsstrategien. Der Algorithmus basiert auf trigonometrischen und iterativen Elementen. Er arbeitet unabhängig von der Vorwärts Kinematik und nutzt diese für die Ergebnis-Visualisierung sowie die Positionskontrolle.

• Die absoluten Positionierfehler Soll/Ist des TCP liegen unter 1/10.000 mm, meist in einer Größenordnung von 10^-5 bis 10^-6 mm.

3D-Kinematik & 2D-Perspektive

Achs-Drehwinkel und Perspektive werden über Schieber verändert und Real-Time visualisiert.

Kartesische Koordinaten und Roboter Kinematik

Legen wir ein Blatt Papier auf den Tisch und zeichnen mit dem Bleistift ein Achsenkreuz – wir können dies auch mit einem CAD-System am Bildschirm tun – so hat der Kreuzungs-punkt per Definition die Bezeichnung "0 / 0". X- und Y-Wert sind also beide gleich "0".

Dieser Kreuzungspunkt liegt in einem willkürlichen Versatz zum Papier- bzw. Bildschirm-rand, Bildschirm bzw. Papier befinden sich in willkürlichem Abstand und Winkel zum Schreibtischrand, der Schreibtisch steht irgendwo im (Büro-) Raum usw.

• Jeder dieser Gegenstände hat eine Bezugskante, von der üblicher Weise gemessen wird. Und, jeder dieser Gegenstände wird von einem anderen "umhaust", - er hat relative Koordinaten zu dieser Umhausung.

Eingebetet ist das System relativer Koordinaten in das Weltkoordinatensystem, auf das allerdings nur selten referenziert werden muß.

Wenn wir vor der Aufgabe stehen, daß ein Roboter gezielt irgendwo hingreifen oder eine Bewegungsbahn fahren muß, müssen wir den Zielpunkt in einem (kartesischen) Koordinaten-system erfassen auf das auch der Roboter-Fußpunkt referenziert. Während das Kartesische System achsparallel ohne Winkelwerte arbeitet sind Winkelwerte, - kaskadisch aneinander gereiht - der einzige Bezug zwischen Roboter-Fußpunkt und dem "End-Effektor"; dem Teil, das bewegt und in Position gebracht werden soll.

Drehwinkel werden in Grad gemessen – so haben wir es in der Schule gelernt! Ein Vollkreis hat 360 ° Grad – und das hat sich eingeprägt, wenngleich es andere Maß Systeme der Winkelmessung gibt: In der Geodäsie wird der Vollkreis mit 400 Gon (Neu-Grad) gemessen. Die RoBo-mac Algorithmen arbeitet intern im "Bogenmaß"; ein Vollkreis gleich "2 PI" – was nicht ganz zufällig dem Kreisumfang bei Radius = 1 entspricht!

Eine Achse kann sich beliebig oft um sich selbst drehen. 2 Umdrehungen entsprechen im (Alt-) Gradsystem einem Drehwinkel von 720°. Mathematisch ist dies unproblematisch, mechanisch ist eine Roboterachse - zumindest bei Gelenk- bzw. Knickarmrobotern - jedoch auf meist weniger als eine Vollkreisdrehung beschränkt. SCARA haben hier eine größere Freiheit. Gemeinsam ist diesen Systemen, daß nach Erreichen des maximalen Drehwinkels "zu-rückgedreht" werden muß. Robotersysteme haben somit zwischen beiden Endlagen einen Nullpunkt, der meist als symmetrisch mittig definiert wird. Sind alle Arme gestreckt, so steht das System in "Null-Stellung".

Per Definition referenziert jede Drehung eines Armes auf die Stellung des (kaskadisch vorhergehenden) Armes. Gemessen wird der Winkel zwischen den jeweils benachbarten Armen. Eigentlich beträgt der Winkel zwischen gestreckten Armen 180° (im 0° bis 360° System); da andererseits die Streckstellung aller Arme als "Null-Stellung" bezeichnet wird, macht es Sinn, den Bezugsnullpunkt in diese Position zu legen. Das Bezugssystem ist dann als +/- 180° Sy-stem definiert.

Auf unsere Aufgabe bezogen, den Roboter gezielt "irgendwo" hingreifen zu lassen, bedeutet dies, das "Irgendwo" kartesisch zu definieren und den Roboter im kartesischen System geeignet zu positionieren, den Rest übernimmt der MATHEMATISCHE 3D GELENK-BAUKASTEN

Die ersten Schritte

Wenn Sie sich in die Thematik einarbeiten, werden Sie recht schnell zu dem Schluß kommen:

• Der Gelenkbaukasten bietet kinematische Bewegungsmöglichkeiten die zu beherrschen einige Erfahrung erfordert. Es ist wie beim Klavierspielen: Das Instrument wird vom Pianisten zum Leben erweckt! Und hier macht Übung den Meister.

Üben Sie, Sie können nichts kaputt machen, der Baukasten ist sehr bedien-tolerant. Ich habe bei der Entwicklung hohen Wert auf "Bediener-Komfort" und darauf gelegt, "Bedienungsfehler" (grausame Ausrede inkompetenter Entwickler) automatisch abzufangen. Vieles von dem was Sie tun überprüfet ein Algorithmus im Hintergrund auf Plausibilität – und meldet sich!

Stöbern Sie!

Für Ungeduldige

• Die Datei "Demo-Arm" zeigt (nach Initialisierung der kostenlosen Test- und Demo Version) einen Bewegungsablauf. Clicken Sie in der Grafik (oben links) "Control-Center"; eine Maske erscheint; clicken Sie (Maske mitte unten) "Simulation Bewegung / vorwärts"; der Arm fährt eine Bewegungsbahn.
• Die Datei "Demo-Arm_schief" ist Beispiel einer komplexen Inversen Kinematik mit in sich gedrehtem Arm (vgl. Tutorial).
• Strategie-Demo

verlassen Sie das 'Control-Center'. In der 3D Grafik (oben rechts) finden Sie den Button 'Demo-Menü'. Die Demo-Beispiele zeigen mögliche Bewegungs-Strategien – und geben einen Einblick in die Problematik kinematischer Überbestimmung.

Für Lernwillige

• führt dieses Handbuch Schritt für Schritt durch die Möglichkeiten des 3D Gelenk-Baukastens. Sie finden eine Vielzahl von Möglichkeiten eine Bewegungsbahn selbst zu generieren oder aus einem CAD-System zu importieren. Zu Maskenfunktionen finden Sie ein "wie, warum und wozu"!
• Ein "Kochbuch" im Anhang des Manuals zeigt (hoffentlich) praxisorientiert, wie die Demo-Datei generiert wurde. Diese Rezeptesammlung führt "Schritt für Schritt" (einschließlich kinematischer Stolperfallen & Lösungen) durch die Bewegungsprogrammierung.

Über die "normale" Knickarm-Robotik hinaus beherrscht der Programm-Algorithmus

- in der Länge veränderbare Teleskop-Achsen sowie

- kombinierte Portal & Knickarm Robotik

Parametrierung

• Die Roboter-Mathematik dieses Baukastens ist entsprechend der mechanischen Roboter-Hardware individuell parametrierbar; mehr hierzu im orig. Handbuch / Kapitel Supervisor-Information.

Bildschirm- und Maskenaufbau

Bildschirm

• Bildschirm oben links

Grafik: Stilisierte Armstellung im 3D-Raum.

Der 3D-Raum ist kontinuierlich zwischen Maus & Vogelperspektive einstellbar. Die Einstellung hat keinen Einfluß auf die Berechnung.

- In der Grafik oben links der Button 'Control-Center', der die Maske aufruft.

• Bildschirm oben rechts

ganz oben Perspektiv-Schieber, darunter die aktuellen XYZ Koordinaten aller Gelenke.

• Bildschirm unten links / rechts

Kinematische Bewegungsdaten

Bedienerhinweise

• Sprachumschaltung : Maske 'Start' (derzeit Deutsch / English, weitere Sprachen möglich).

Maske 'Robotic'

Die Maske 'Robotic' mag zunächst "erschlagend" wirken, ermöglicht jedoch ohne Maskenwechsel nahezu alle kinematischen Funktionen und Befehle:

Direkte (vorwärts) Kinematik,

• Berechnung der XYZ-Koordinaten des TCP aus Winkelstellung der Knickarme

Inverse (rückwärts) Kinematik

• Berechnung der Knickarm-Winkelstellung aus vorgegeben XYZ-Koordinaten des TCP
• freie, interaktive Off-line Entwicklung einer Bewegungsbahn
• automatische Transformation einer extern vorgegeben Bewegungsbahn
• 8 frei wählbare Bewegungsstrategien der Knickarme
• sowie die Möglichkeit, Knickarm Roboter zusätzlich auf XYZ-Portal zu verfahren.

Last not lease

• 3D-Visualisierung der Roboter Knickarme und einer Bewegungsspur des TCP aus frei wählbarer Maus- bis Adler-Perspektive.

Auch dieses Leistungsspektrum mag "erschlagen"; wir betrachten es schrittweise. Zunächst den Maskenaufbau. Grundsätzlich gilt: Sie können nichts kaputt machen – probieren Sie!

Die Maske zeigt 3 Säulen,

links: inverse Kinematik & Bahngenerator, rechts: direkte Kinematik, Mitte: Zusatzfunktionen

Kinematik invers

alle Werte dieses Blocks (links oben) beziehen sich auf den TCP.

• Die aktuelle Ist-Position wird im XYZ-Koordinatenfenster (ganz oben) angezeigt.

• Ziel Position (absolut).

Der Wert wird im XYZ-Koordinatenfenster eingegeben.

Falls sinnvoll, kann der Ist-Wert zuvor ins Ziel-Feld kopiert (Übernahme 'Ist-Position') und danach geändert werden. Wahlweise wird diese Ziel Position als Neuer Datensatz (DS-Neu) hinzugefügt oder der aktuell gewählte Datensatz korrigiert (DS-Korrektur).

Die Achs-Winkelwerte werden hieraus OnLine errechnet und dem aktuellen Datensatz (s.u.) hinzugefügt.

• Ziel Position (Offset).

Der Offset bewegt den TCP - bezogen auf seine aktuelle Position - stets um den gleichen Wert mit den Doppel-Pfeiltasten wahlweise vorwärts / rückwärts. Er ist entweder

• als kartesischer Zielwert (XYZ) oder
• als Vektor-Hub führ in eine teleskopartige 'Unter-Arm'-Bewegung definierbar.

Der aktive Offset färbt sich 'rot'.

• Bezier

Diese Funktion ist in Vorbereitung; sie verbindet Teleskop-Bewegungen am Anfang und Ende einer Positionierbahn mit den "weichen Übergängen" einer Bezier-Kurve; vgl. Bezier, Hermite & Spline Interpolation

• Datensatz

wählen Sie den zu bearbeitenden Datensatz mit seiner Ordnungs-Nr. oder den Pfeiltasten. Falls bereits mehrere Datensätze vorhandenen sind und Sie den letzten einer Liste aufrufen wollen, clicken Sie 'Anschluß DS (suchen)'. So Sie einen vorhandenen aus der Liste löschen oder einen zusätzlichen einfügen wollen, clicken Sie: 'DS-Neu' / 'DS-Löschen'.

Es kann sinnvoll sein, die Anfahr-Koordinaten eines Zieles vom Ziel aus gesehen "rückwärts" zu entwickeln. In der Praxis können hierbei zunächst 2 getrennte Bewegungsfragmente (Start-Fragment / Ziel-Fragment) entstehen, die es zu schließen gilt. Die Rast-Taste 'vorwärts / rückwärts' wählt in Zusammenarbeit mit 'Anschluß DS (suchen)' das entsprechende Fragment und dreht die Suchrichtung im 'Ziel-Fragment' um.

• 3D-Perspektive & Zoom

wählen Sie mit den Doppel-Pfeiltasten die 3D-Perspektive. Der Knopf 'Reset' führt aus "unglücklichen" Perspektiven zurück in eine klassische 3D-Perspektive.

• Bewegungsstrategie / Silhouette

Mehreren Bewegungsstrategien stehen zur Auswahl. Beispiele, wie diese Strategien arbeiten, finden Sie im Makro-Menü unter "Strategie-Demo…". Die gewählte Bewegungsstrategie bestimmt den Algorithmus der inversen Kinematik.

- Clicken Sie eine Strategie Ihrer Wahl. Im oberen Fenster-Bereich erscheint eine Info, ob diese für Parallel Kinematik, Schief Kinematik oder beide geeignet ist (vgl. Tutorial).

- Ein Wechsel zwischen den Bewegungsstrategien ist jederzeit möglich.

- Die Strategien 6 und 7 erzeugen ab Handgelenk-Punkt lineare Bewegungen und somit konstante Orientierung der Abtriebs-Achse.

• Koordinaten Liste

Die Liste extern erzeugter XYZ Koordinaten des TCP wird - entsprechend der Bewegungsstrategie - in die Winkel der Knickarme transferiert; schrittweise oder automatisch für die gesamte Liste.

• Simulation Bewegung

Die Bewegungssimulation visualisiert im zügigen Durchlauf die einzelnen Datensätze. Die bereits bekannte Rasttaste 'vorwärts / rückwärts' bestimmt die Laufrichtung:

Vorwärts: Start-Punkt bis zum aktuellen Datensatz / aktueller Datensatz bis Zielpunkt

Rückwärts: In umgekehrter Richtung.

• Spur

Die Bewegungsspur des TCP läßt sich per Rasttaste zu/abschalten. Angezeigt wird die Spur zwischen Startpunkt und dem (beim Clicken der Taste) aktuellen Datensatz. Sie kann über die Tasten 'Simulation Bewegung' bzw. die Befehlsgruppe 'Datensatz' mit den Doppel-Pfeiltasten frei durchlaufen und so ein gesuchter Datensatz visuell gefunden werden. Mit Aufruf der Maske wird die Spur automatisch aktiviert – und kann ggf. abgeschaltet werden.

• Stop

eine 'Stop-Taste' erscheint, sobald Simulation Bewegung oder Koordinaten Liste automatic gewählt ist. Die Funktion bricht ab, der Datensatz wird zum aktuellen Datensatz.

Kinematik direkt

Dieses Feld (rechts oben )zeigt Winkelschieber für 12 Achsen (A/B bis L/M) sowie den aktuell eingestellten Winkelwert, wahlweise im 0-360° oder -180° / +180° System. Nur die Schieber, die im Rahmen der Parametrierung aktiviert wurden, sind aktiv.

• Die direkte Kinematik dient in erster Linie dazu, eine "vernünftige Startposition", die Orientierung des TCP-Trägerarmes als Ausgangspunkt der inversen Kinematik oder auch Stützpunkte zur Umfahrung eines Hindernisses manuell zu bestimmen. Man braucht sie selten, aber man braucht sie. Vieles ist hier Sisyphus & Try and Error.
• Hat nach dem Gesetz der größten Gemeinheit Murphy zugeschlagen und die Knickarme stehen völlig daneben, so können die Schieber mit den Doppel-Pfeiltasten des Bereiches Datensatz auf die Werte des List-Datensatzes synchronisiert werden.
• Ist in direkter Kinematik eine Winkelposition gefunden, so kann sie der Datensatz Liste über den Button 'Teach-In / Aktuelle Koordinaten' direkt zugeführt werden. Auch Kreisbewegungen sind so einfach erzeugbar.

• Basiskoordinate Portal rechts unten

Koordinaten und Winkel-Berechnungen referenzieren auf den Achs-Fußpunkt XYZ.

• Komplexe Robotersysteme arbeiten mit verfahrbarem Fußpunkt auf XYZ-Portal. Der Algorithmus inverser Kinematik berücksichtigt bei der Knickarm Berechnung die in direkter Kinematik vorgewählte Portal-Kordinate.
• Die Verschiebung der Basiskoordinaten ermöglicht es auch, eine feste Fußpunkt Position entsprechend den kinematischen Möglichkeiten der Roboter-Mechanik zu optimieren.

• Button 'DS Neu' & 'DS Korrektur'

Sie finden diese Funktionen in den Bereichen inverse sowie direkte Kinematik.

Per 'DS Korrektur' ändern Sie den aktuellen Datensatz, 'DS Neu' generiert einen zusätzlichen Datensatz am aktiven Ende eines Datensatz-Blocks.

Unter Sicherheitsgesichtspunkten ist 'DS Neu' de-aktiviert, sobald der aktuell gewählte Datensatz sich nicht am Block-Ende befindet; gleichsinniges gilt für die Offset Doppel-Pfeiltasten. Wollen Sie größere Änderungen vornehmen, so sollten Sie (im Feld 'Datensatz')

• per 'DS Einfügen' einen Datensatz an aktueller Stelle einfügen,
• per 'Anschluß DS suchen' das aktive Ende des Blockes (vorwärts/rückwärts) aufsuchen.

Die Taste 'DS Neu' wird aktiviert.

Koordinaten & Datensatz-Liste

Im unteren Teil des Bildschirmes werden (ab Zeile 51) die Kinematischen Bewegungsdaten zeilenweise gespeichert; links die XYZ-Koordinaten, rechts deren korrespondierende Winkel. Über die Maske haben Sie direkten Zugriff auf bereits erstellte oder entstehende Datensätze sowie deren Korrektur. Die in der Maske angezeigte Ordnungs-Nr. des Datensatzes wird mit dem Cursor ergänzend markiert. Sie finden:

Spaltenbereich 1 / (A) Ordnungs-Nr. der Bewegungsstrategie

Spaltenbereich 2 bis 4 / (B bis D) Soll-Koordinate XYZ des TCP (absolut)

Spaltenbereich 5 / (E) Soll-Vektor-Offset des TCP (relativ)

Spaltenbereich 7 bis 9 / (G bis I) Ist-Koordinate XYZ Portal / Fußpunkt *)

Spaltenbereich 14 bis 16 / (N bis P) Ist-Koordinate XYZ des TCP (absolut)

Spaltenbereich 39 bis 50 / (AM bis AX) Winkelwerte Achsen (A/B bis L/M)

Portal / Fußpunkt Ist-Koordinate

• Sind in der Liste keine Fußpunkt-Koordinaten vorhanden, so arbeitet der Algorithmus "mit 0-Wert". Arbeiten Sie mit dem Bahn-Generator, so werden Portal Koordinaten in der Koordinatenliste nur ausgewiesen, wenn sie von 0 abweichen.

• Sind Fußpunkt-Koordinaten in der Liste vorhanden, so werden sie als Offset berücksichtigt.

Bahnsteuerung

CAD-Import

Sind Soll-Koordinaten (z.B. aus einem CAD-Programm) vorhanden, so werden sie zunächst mit den Excel-üblichen Befehlen in den Bereich der Sollkoordinaten (Spalten 2 bis 4 / bzw. B bis D) des Datenmoduls ab Zeile 50 übertragen. Das Programm generiert aus diesen TCP Soll-Koordinaten entsprechend der gewählten Bewegungsstrategie (s.u.) die Winkelstellung der Knickarme und schreibt sie in das Bewegungsprotokoll. Hierzu werden die Koordinaten entweder über den Button 'DS-Schritt' (Step by Step) aufgerufen oder per 'DS-Automatic' als Datenblock verarbeitet.

Bahngenerator

Sind keine (extern ermittelten) Soll-Koordinaten vorhanden, so müssen sie interaktiv generiert werden (Offline Teach-In). Die TCP-Bahn-Stützpunkte werden wahlweise als XYZ-Wert Absolut oder als Offset eingegeben und per 'DS Neu' bzw. 'DS Korrektur' verarbeitet. Der Bahngenerator

- visualisiert "Real-time" die Bewegung im 3D-Raum entsprechend der gewählten Bewegungsstrategie (s.u.)

- erlaubt hierbei beliebig "Try & Error" und

- erzeugt die XYZ-Koordinatenliste des TCP sowie das Knickarm-Bewegungsprotokoll.

CAD-Import und Bahngenerator greifen auf die gewählte Bewegungsstrategie zurück und ermöglichen eine kontinuierliche oder schrittweise Kontrollfahrt. Bestimmen Sie ggf. in direkter Kinematik eine "vernünftige" Startpositionierung.

• Im Rahmen einer interaktiven Arbeitssitzung erzeugt/speichert das Programm ein Bahnprofil mit Koordinaten und Winkelwerten. Wurden diese mit dem Bahngenerator erzeugt, so kann aus den gewonnenen Ist-Koordinaten eine ähnliche "parallel versetzte" Bahn mit den EXCEL-üblichen Befehlen "recht bequem" generiert werden: Die per Bahngenerator erzeugte Ist-Koordinatenliste wird mit entsprechendem Offset in den Soll-Koordinaten Bereich übertragen und über den Button 'DS-Schritt' bzw. 'DS-Automatic' erneut verarbeitet.

• Stellt sich heraus, daß ein Zielpunkt außerhalb der kinematischen Möglichkeiten liegt und daß das Problem durch verschieben des Roboter 'Schulter bzw. Fußpunktes' zu lösen sei, so muß nicht die bisherige Arbeit erneuert werden: Über den Portal-Offset wird eine neue Basisposition gewählt und über den Button 'DS-Schritt' bzw. 'DS-Automatic' ein neues Bewegungsprofil bei geändertem Fußpunkt erzeugt.

• Der Portal-Offset ist im Masken Bereich der 'direkten Kinematik' korrigierbar.

- Der hier eingegebene Wert wird für den aktuellen Datensatz in der Koordinaten-Liste gespeichert. Clicken Sie hierzu den Button 'DS Korrektur' bzw. 'DS Neu'.

- Um den bisherigen Portal-Offset beizubehalten, clicken sie den 'Doppelpfeil' "rauf/runter" (im Feld Datensatz) je einmal, der bisherige Offset wird synchronisiert.

TCP Spur

Die Grafik visualisiert aus beliebiger Perspektive die aktuell errechnete Winkelstellung der Knickarme im 3D-Raum und (zu-/abschaltbar) die Bewegungsspur des TCP. Die Perspektiv-Einstellung hat keinen Einfluß auf die kinematische Berechnung.

Bewegungsstrategien

Um trotz Überbestimmung aus theoretisch unendlich vielen Winkel-Kombinationen möglichst geeignete Vektorlagen der Roboterarme zu berechnen verfolgt der RoBo-mac Gelenkbaukasten mehrere, frei wählbare Bewegungsstrategien:

• Semi-Automatic präzisiert manuelle Winkel-Vorwahl "in ähnlicher Silhouette"
• Konvex: Das mittlere Arm-Element liegt oberhalb des Zielpunktes
• Konkav arbeitet vice versa zu Konvex
• Zickzack: Die Arm-Elemente bilden eine Zickzack Silhouette
• Parallel, bewegt den Übergangspunkt "Arm/Handgelenk" parallel
• Teleskope bewegt Knickarme transversal wie Teleskoparme.

Zwischen den Strategien kann beliebig gewechselt werden.

Semi-Automatic

orientiert sich an der Ist-Position der Gelenke und erreicht die neue Zielposition "in ähnlicher Silhouette". Wird die Arm-Position mit den Schiebern "in etwa" vorgewählt, so ermittelt der Algorithmus die Vektorlagen der Arme mit o.g. Präzision, ein Hindernis kann mit der Halb-Automatic so umfahren werden. Die Stützpunkt-Schrittweite beeinflußt die "Ähnlichkeit" der Silhouette; liegen die Stützpunkte weit auseinander, so geht die Ähnlichkeit verloren. Die Bahnen der Gelenkpunkte sind bei Hin- und Herbewegung selten kongruent.

Konvex, Konkav & Zickzack

sind Voll-Automatic Funktionen, sie generieren die Bahn mit reproduzierbarer Winkelstellung der Gelenke - unabhängig von deren Ausgangs-Position; diese Bewegungsstrategien ermitteln für alle Gelenkpunkte stets die gleiche Bahn. Der Algorithmus eignet sich für Bewegungen, denen genügend Arbeitsraum zur Verfügung steht, er benötigt wenige Stützpunkte.

Innerhalb jeder einzelnen Bewegungsstrategie verlaufen die Armbewegungen konsistent und erwartungsgemäß.

• Ein Strategiewechsel ist jederzeit möglich, führt jedoch über eine im Detail undefinierte Streck-Bewegung des Armes. In dieser Bewegungsphase besteht erhöhte Kollisionsgefahr.

Parallel & Teleskope

ähneln o.g. Voll-Automatic Funktionen. Der "Unter-Arm" mit dem Übergangspunkt "Arm/Handgelenk" wird parallel zu sich selbst, bzw. in der Vektororientierung seiner eigenen Achse bewegt. Die Bewegungsstrategie 'teleskopisch' verwendet hierzu keinen absoluten oder relativen XYZ-Wert, sondern einen Vektor-Hub. Die Ist-Vektorlage des "TCP Trag-Armes" wird um diesen Hub verschoben. Im Ergebnis führt dies zu einer teleskopartigen Bewegung.

• Die Winkelorientierung aller kaskadisch folgenden Achsen bleibt erhalten.
• Ein Strategiewechsel ist jederzeit ohne erhöhte Kollisionsgefahr möglich. Der Arbeitsbereich ist kleiner als der anderer Strategien.

Kombinierte Portal & Knickarm Robotik

Ist ein Knickarm Roboter auf Portal verfahrbar, so überlagern sich beide Bewegungskomponenten. Dies erhöht die Anzahl der Freiheitsgrade enorm. Um trotzdem gezielt Einfluß auf die Kinematik nehmen zu können, referenziert die Berechnung der Knickarm-Winkel auf die aktuelle Fußpunkt Position.

• Wählen Sie eine Fußpunktposition in direkter Kinematik und

die XYZ-Zielkoordinate des TCP im Maskenbereich der inversen Kinematik.

• Beide Bewegungskomponenten lassen sich so zu einer komplexen Gesamtbewegung kombinieren – und bestimmen die Orientierung des TCP.

Soll die TCP Position bei geänderter Fußpunkt Koordinate beibehalten werden, so

- clicken Sie zunächst den Button 'Übernahme Ist-Position' (Feld 'Zielposition absolut'),

- korrigieren Sie die Fußpunkt Koordinate,

- clicken Sie 'DS Neu' (Bereich direkte Kinematik)

- clicken Sie 'DS Korrektur' (im Feld 'Zielposition absolut').

• Diese Orientierungsänderung bei gleicher XYZ-Position führt in eine "Biege-Bewegung".

Positionierfehler & Watchdog

Unabhängig davon, wie die Soll-Werte erzeugt wurden, werden die Datensatz Ist-Werte in inverser Kinematik entsprechend der gewählten Bewegungsstrategie berechnet und als korrespondierende Knickarm-Winkel gespeichert. In direkter Kinematik wird aus diesen Knickarm-Winkeln der XYZ-Wert des TCP errechnet. Das Verfahren mag umständlich sein, ermöglicht jedoch einen Soll/Ist Vergleich. Die absoluten Positionierfehler Soll/Ist des TCP liegen unter 1/10.000 mm, meist in einer Größenordnung von 10^-5 bis 10^-6 mm.

Ein Watchdog-Algorithmus überwacht intern die Soll/Ist-Abweichung und schlägt ggf. Alarm. Falls der Zielpunkt nicht berechenbar oder kinematisch nicht erreichbar ist, wird eine Fehlermeldung generiert.

Kinematische Bewegungsebenen

Parallele Ebenen

Die Algorithmen der bisher besprochenen Bewegungsstrategien erwarten, daß sich die Schwenkachsen zwischen Schulterpunkt und Ellbogen bzw. dem Übergangspunkt "Arm/Handgelenk" in parallelen Ebenen bewegen. Die An- und Abtriebsachsen A/B bzw. G/H dürfen Drehachsen sein. Diese Parallel-Kinematik (vgl. Tutorial) erreicht jeden beliebigen Raumpunkt (XYZ).

Schiefe Ebenen

Die zusätzliche Drehmöglichkeit einer Schwenkachse zwischen Schulterpunkt und Handgelenk erhöht die Bewegungsvielfalt enorm. Dieser Vorteil wird mit einer komplexen Mechanik sowie einer nochmals gesteigerten kinematischer Überbestimmung erkauft; der Rechenaufwand steigt extrem – und führt in wahrnehmbare Rechenzeit. Es müssen 3D- Näherungsalgorithmen verwendet werden (vgl. Tutorial).

Näherungsalgorithmen haben stets einen Gültigkeitsbereich, der hier von Start- & Zielposition sowie der Bewegungsstrategie abhängt. Nicht jede Zielposition ist aus jeder Startposition erreichbar, ggf. muß die Bewegungsstrategie geändert bzw. die Startposition im Rahmen der Bahnoptimierung (Interaktiver Prozeß) zuvor korrigiert werden.

Der Gültigkeitsbereich bildet sich aus Schnittmengen vorgenannter Parameter. Ein Watchdog-Algorithmus überwacht, daß sich die Näherungsalgorithmen im Gültigkeitsbereich bewegen; er generiert ggf. eine Fehlermeldung & Korrekturempfehlung. Die Standardabweichung der absoluten Positionierfehler Soll/Ist liegt in der Größenordnung "einiger Hundertstel".

• Die Näherungsalogrithmen beherrschen die Bewegungsstrategien 5 und 6 (bevorzugt) sowie eine spezielle 3-D Strategie 8. Sie ermöglicht höhere Drehwinkel der Armachsen bei kleinerem Arbeitsbereich.

Das Programm prüft selbstständig, ob der rechenintensive Schief-Algorithmus erforderlich wird oder der schnellere & präzisere Parallel-Algorithmus geeignet ist.

Linearität und Oberwelle

Die beschriebenen Bewegungsstrategien verbinden die Bahnstützpunkte. Wenngleich der Positionierfehler des RoBo-mac Algorithmus unter 1/10.000 mm liegt, so ist der Bahnverlauf zwischen den Stützpunkten mathematisch unbestimmt:

• Bestimmt wird die Bewegungs-Kinematik zwischen den Bahnstützpunkte durch die Knickarm-Mechanik: Die Rest-Welligkeit einer linearen Bahn hängt dabei (auch) von deren relativen Lage im Arbeitsbereich der Knickarme ab.
• Linearität versteht sich in diesem Zusammenhang nicht nur als Linie/Gerade, sondern als lineare Umsetzung Soll/Ist.

So, wie bei der CNC-Fräse ein Kreis aus einer Vielzahl von geraden (xy-parallelen) Segmenten besteht, so basiert beim Knickarmroboter die Bahn auf Kreiselementen. Soll eine lineare Bewegung des TCP / Endeffektors erreicht werden, so sind hieran eine Vielzahl von überlagerten Kreisbewegungen beteiligt.

Gedankenexperiment

Wenngleich die folgende Betrachtung für jede Soll-Kurve gilt, vereinfachen wir sie im Beispiel auf eine Gerade.

• Mit einer Geraden sollen 2 gegenüberliegende Punkte auf der Peripherie des Roboter-Arbeitsbereiches verbunden werden.
• Hieran beteiligt ist in jedem Fall die Hauptdrehachse A/B; sie beschreibt einen Kreisbogen. Um diesen zu glätten wird der Knickwinkel zwischen den Armen während der Dreh-Bewegung 'A/B' zunächst reduziert und danach wieder erhöht.
• Erzeugt wird die Winkelarmbewegung über Motore. Konstant kann deren Winkelgeschwindigkeit nicht sein, denn zumindest der Knickarm Motor muß eine Hin- und Herbewegung durchführen.
• Kreisbewegungen lassen sich auf sin/cos Komponenten zurückführen. Soll die CNC-Portal-Fräse einen Kreis herstellen, so arbeitet sie nicht "wie ein Zirkel", sondern auf Basis linearer (xy-paralleler) Bewegungen mit sin/cos Geschwindigkeitsprofil. Gleichsinniges – nur umgekehrt – gilt für die Knickarme.
• Nehmen wir an, unsere Gerade läge parallel zur X-Achse, wir betrachten (Weltkoordinatensystem) aus Z-Richtung:

Bei Konstanter Drehgeschwindigkeit des Antriebs 'A/B' bewegt sich die Projektion der Drehung zunächst langsam, in der Mitte schneller, zum Ende wieder langsam – also sinus-konform. Um den Kreisbogen in eine Parallele zur X-Achse zu zwingen wird in erster Näherung eine überlagerte Sin-förmige Bewegung des Knickwinkels zwischen den Armen erforderlich. Diese Winkelbewegung kompensiert aber nicht nur wie gewünscht die Z-Komponente der Kreisbahn (Achse 'A/B'), sondern bringt eine ungewünschte Y-Komponente ein, die ebenfalls kompensiert werden muß - es wird also etwas komplexer.

• Nach Murphys Gesetz der größten Gemeinheit ist die die Knickarm-Bewegung auch noch unsymmetrisch, da die Gerade nicht durch den Roboter-Nullpunkt führen kann!

Festzuhalten ist:

• Um mit Knickarm-Kinematik eine Gerade zu erzeugen, wird nicht nur die Überlagerung mehrerer Winkelbewegungen erforderlich.
• Die Winkelgeschwindigkeit aller Knickarme unter-/ gegeneinander muß sich hierbei kontinuierlich nicht linear ändern.

Hingegen:

Eine Bahnsteuerung verbindet 2 Stützpunkte mit einer beliebig komplexen Anzahl von Bewegungskomponenten (der RoBo-mac Multi-Achs-Controller beherrscht 8 Achsen). Die Achsen arbeiten hierzu mit individueller – aber zwischen den Stützpunkten konstanter Winkel-Geschwindigkeit. Bei Achsparallelen Systemen (CNC-Portalfräse) führt dies in lineare Bewegungen, bei Knickarm-Systemen in bogenförmige. Die sich ergebenden Oberwellen sind Mechanik-spezifisch.

• Es wird also eine hohe Auflösung der Bahn mit hoher Stützpunktzahl erforderlich, um die Winkelgeschwindigkeiten "quasi kontinuierlich" gegeneinander verändern zu können

- und so die Sollbahn "Oberwellen arm" zu realisieren.

• Dies gilt nicht nur für eine Gerade, sondern für alle Bewegungsprofile, die nicht auf die simple Kreisbahn einer Achse zurückzuführen sind.

Fazit:

• Nur eine hohe Auflösung der Soll-Bahn ermöglicht eine "Oberwellen arme" Ist-Bahn.

- Der RoBo-Mac Bahngenerator erzeugt Bahnen mit beliebig geringer Schrittweite.

Bézier Kurven Generator

Der Bahngenerator des Baukastens erzeugt ein Soll-Bahnprofil aus frei wählbaren Stützpunkten. Liegen die Stützpunkte (zu-) weit auseinander, beispielsweise um Pick & Place Punkte miteinander zu verbinden, so kann dies im Ergebnis in eine "wenig kontinuierliche Bewegung" des TCP führen. Die Bewegungsbahn weist Knickstellen auf, mathematisch wird dies als nicht stetige Änderung der Bahn-Krümmung beschrieben.

Bézier Kurven können Ihre Krümmung stetig ändern. Mit nur 4 "Steuerpunkten" lassen sich die erstaunlichsten Kurven formen:

• die anderen beiden bestimmen die "Freiform" der Bahn mit ihrer stetig geänderten Krümmung. Diese beiden Steuerpunkte werden auch als "Anfasser" (engl. Handle) bezeichnet.
• Verbindet man die Anfasser mit "ihrem" Ursprungspunkt der Kurve so erhält man eine Art "Joy-Stick" – mathematisch eine Strecke, die im Einlaufpunkt zugleich Tangente der Bèzier Kurve ist. Die Kurve folgt diesen Anfassern. Sie läuft einerseits tangential ein, andererseits bestimmt die Länge der Anfasser Kurvenlänge und Kurvenkrümmung.
• Beide Anfasser haben Wirkung auf die Gesamtkurve, jedoch ist die Wirkung in dem Kurverbereich größer, der die jeweilige Tangente bildet.

Bézier Kurven haben also die wunderbare Eigenschaft nicht nur 2 Punkte zu verbinden:

• Liegen die Anfasser in der Vektor-Orientierung einer anderen, anschließenden Kurve oder Geraden – beispielsweise den Pick & Place Vektoren so gehen beide Kurven nahtlos ineinander über. Anders ausgedrückt:
• Zwei gegebene Bahn-Segmente, können durch Bézier-Splines "glatt" verbunden werden.

Hintergrund Know-how zu Bézier unter http://www.cnc-mac.de/html/bezier___spline_.html. Hier finden Sie auch Spline-Theorie zu anderen Kurven sowie eine Studie mit dem Excel-Quellcode zu Bézier und Hermite; - * Bézier Kurven laufen hoch präzise in ihren eigenen Tangentenpunkt ein; trotzdem ist die eigentliche Kurve, wenngleich exakt reproduzierbar manuell nur schwer beherrschbar. Allein die Kombination aus unterschiedlichen Anfasser-Längen führt in eine unendliche Kurvenvielfalt.

•  : Wird die Anfasser-Länge gleich '0', so wird auch die tangentiale Einlauflänge der Kurve gleich '0', die Kurve knickt ab.
•  : Werden die Anfasser "länger", so wird dies auch die Kurve. Je nach Winkellage der Anfasser kann sie sich vom "Hufeisen" über ein spitzwinkliges Dreieck zur "Schleife" wandeln.
•  : Sie wird jedoch nie über das aus den 4 Steuerpunkten gebildete Geviert hinauskragen,

das macht sie so sympathisch!

• Der RoBo-Mac Bezier Generator errechnet aus den zu verbindenden Bahnsegmenten zunächst trigonometrisch die Winkellage der Tangenten. Hieraus, sowie dem Abstand der Bahn-Segmente bestimmt er "geeignete" Anfasser-Längen. Diese Zusammenhänge sind nicht linear, ich habe sie in o.g. Studie mit dem Excel-Quellcode offengelegt.

• Mathematisch betrachtet lassen sich mit Bézier lediglich Ovale, jedoch keine "echten" Kreise und Ellipsen erzeugen. Die Abweichungsfehler sind abhängig vom Öffnungswinkel der Tangenten. Für Winkel unter 90° * Mit dieser Einschränkung lassen sich tangential einlaufende Kreis- bzw. Ellipsen-ähnliche segmente und natürlich Parabeln in beliebiger 3D-Lage gut realisieren.

Bèzier & 3D

Die klassische Bézier Kurve liegt 2 dimensional in der Ebene. Es liegt nun nahe, die im 3D Raum liegenden Tangenten der zu verbindenden Bahnsegmente per Winkeltransformation in die Ebene zu drehen, die Kurve zu berechnen und das Ergebnis zurück zutransferieren. Mit der Tangente eines Bahnsegments ist dies gewiß möglich. Das andere wird realistisch betrachtet jedoch wohl kaum in dieser Ebene liegen. Wir brauchen also eine Lösung die allgemeingültig beliebige Vektororientierungen im 3D Raum verbindet:

• Projiziert man die Tangenten der zu verbindenden Bahnsegmente in die Ebenen des XYZ Koordinatensystems, so erhält man 3 Vektorpaare und mithin 3 Bézier Kurven. Diese 3 Kurven lassen sich zu einer gemeinsamen überlagern, die einen "glatten" Übergang in die Vektoren der zu verbindenden Bahnsegmente bietet. Die Tangenten dieser Bahnsegmente können hierbei weitestgehend beliebig im 3D Raum orientiert sein.

Der Bézier Bahngenerator errechnet die Tangentenorientierung aus der Raumpunkt Differenz der beiden jeweils letzten Stützpunkte am Ende/Anfang der zu verbindenden Segmente. Wenngleich der Algorithmus die Problematik "Division durch 0" beherrscht, sollten mindestens 2 von 3 Differenzwerten (X/Y/Z) den Betrag von 'einigen Zehntel' aufweisen. Werden 2 Differenzwerte "0" so kann dies in sehr unerwartete Kurven führen.

Fazit: Bézier Kurven laufen hoch präzise in ihren eigenen Tangentenpunkt ein; die Kurve selber ist, wenngleich exakt reproduzierbar jedoch nur bedingt auf eine "exakte Wunschbahn" zu bringen. Muß die Bahn präzise über einen oder mehrere bestimmte Raumpunkte geführt werden, so wird sie in Segmentabschnitte geteilt. Mehrere Bézier Kurven verbinden diese Raumpunkte als "Cascadierter Spline". CAD/CAE Systeme arbeiten auf dieser Technologie-Basis. Vgl. http://www.cnc-mac.de/html/bezier___spline_.html.

Bézier-Kreise & Ellipsen

• Je Raumpunkt bestimmt ein gemeinsames Stützpunkt-Paar die Orientierung der ein- und auslaufenden Kurve. Ab 3 Raumpunkten läßt sich ein nahezu exakter Vollkreis, ab 4 Raumpunkten eine Ellipse mit den Vorschlagswerten des Bahngenerators formen.

Theorie & Praxis

Dieser Praxis orientierte Artikel ist ein produkt-neutralisierter Handbuch-Auszug.

• Im Orig. Handbuch finden Sie Supervisor-Informationen, wie das Programm der Mechanik-Struktur Ihres Gelenkarmroboters und dessen Maßen angepaßt wird, so daß die Mathematik des 3D Gelenk-Baukasten und Roboter-Mechanik kongruent sind. Die mathematischen Positionierfehler liegen dann in einer Größenordnung von 10^-5 bis 10^-6 mm - und dies ist gewiß eine Herausforderung an die Robotermechanik!

• Im Anhang zum Handbuch ein "Kochbuch" Inverse Kinematik. Diese Rezeptesammlung führt "Schritt für Schritt" (einschließlich kinematischer Stolperfallen & Lösungen) durch die Bewegungsprogrammierung.
• Theoretischen Background erläutert Teil 1 dieses Artikels Inverse Kinematik 1 – Theorie (Tutorial).

Weblinks

• Den Mathematischen 3D Gelenk-Baukasten für Rotations- & Teleskope-Achsen erhalten Sie im Download als kostenloses Test-Paket direkt von meiner Website: http://www.cnc-mac.de/html/download.html.

• Bevor ich mich auf Kinematik und die Mathematik der Spline & Bezier-Welt Bezier, Hermite & Spline Interpolation stürzte, habe ich mich mit Antriebstechnik beschäftigt. Hier im RoboterNetz finden Sie
• Stepmotore und deren Ansteuerung
• Servomotore und deren Ansteuerung (1) & Servomotore und deren Ansteuerung (2)

Mehr dazu unter

• RoBo-mac

All dies muß getestet werden, ich habe hierzu OKTAVIAX, den Acht-Achser entwickelt; unter

 http://www.youtube.com/watch?v=TT344LsOnuY 

macht er ein Tänzchen (Bitte Lautsprecher einschalten).

NLB