Bézier und die Kettenlinie

Dieser Artikel wird zur Zeit formatiert, - bitte etwas Geduld!!!

Vorwort

Diese Ausarbeitung ergänzt meine Untersuchungen zu Bézier, vgl.Bezier, Hermite & Spline Interpolation

Auf der Suche nach einem besonders harmonischen Übergang zweier Geraden unter beliebigem Winkel bin ich auf die Kettenlinie gestoßen. Die Klassische Kettenlinie hängt "nach unten" durch; wird Ihre Form mit Bezier Kurven approximiert, so müßte jede beliebige Lage einer Kettenlinie möglich werden. Teil 1 betrachtet zunächst die Kette, viel Grundsätzliches vgl. J.Köller: http://www.mathematische-basteleien.de/kettenlinie.html , Teil 2 wird eine Bézier Kurven Approximation untersuchen, muß aber noch etwas auf sich warten lassen, ich habe derzeit die "Inverse Kinematik", vgl. … im Arbeitsfokus.

• Da ich zur Kettenberechnung auf Zusammenhänge gestoßen bin, die in der Fachliteratur keine Erwähnung finden - und meine Erkenntnisse hier seit Jahren "schlummern" - habe ich mich entschlossen, Teil 1 bereits hier und heute vorab zu veröffentlichen.

Teil 1, Kette & Seil

Kettenlinie und Seillinie sind grundsätzlich kongruent. Eine Kette kann nur Zug- jedoch keine Druckkräfte übertragen - und es gibt keinerlei innere Rückstell- bzw. Federkräfte; bei einem Seil ist dies nicht 100%-ig der Fall, es verbleiben meist geringe Rest-Kräfte; ich spreche deshalb von der Kettenlinie.

Die Kettenlinie

ist eine Gleichgewichtslinie und somit vielleicht eine der natürlichsten Kurven überhaupt. Sie beschreibt mathematisch den Durchhang einer zwischen 2 Punkten aufgehängten (feingliedrigen) Kette. Auf den ersten Blick entspricht die Kurve einer Parabel; seit Anfang des 17. Jahrhunderts wissen wir, daß dies nicht der Fall ist und mit Ende des 17. Jahrhunderts wie die Kettenlinie zu berechnen ist.

Wenngleich sich eine Kette aus ihrem Eigengewicht formt, geht ihr Gewicht in die Berechnungs-Formeln nicht ein, eine dünne Uhr-Kette und eine schwere Anker-Kette haben – bei gleicher Länge und gleichen Aufhängepunkten – also dieselbe Form und Durchbiegung.

• Eine nur einseitig aufgehängte Kette hängt lotrecht. Wird sie an ihrem erdnahen Ende aus dieser Position gezogen, so ist hierfür eine horizontal wirkende Zugkraft erforderlich, diese Zugkraft ist gewichtsproportional.
• Auf das unterste, erdnaheste Kettenglied wirkt die volle horizontale Zugkraft. Auf andere Kettenglieder ist der "durchgeleitete" horizontale Anteil geringer, der senkrechte Anteil steigt jedoch. Das auf ein einzelnes Kettenglied wirkende Kräfteverhältnis wird durch dessen Lage im Kettenverband bestimmt. Je Kettenglied entsteht ein (unterschiedliches) Kräfteparallelogramm, dessen absolute Größe gewichtsabhängig ist.

- Da sich die Kräfte kompensieren, sind die Winkel des Parallelogramms jedoch gleich,

- mithin nehmen leichte und schwere Ketten dieselbe Form an!

Die aus der Gravitation entstehenden Kräfte werden so in die Kettenachse überführt, daß sich ein Gleichgewicht der Zugkräfte längs dieser gebogenen Achse (Kettenlinie) bildet. Bei einer beidseitig aufgehängten Kette wird das unterste Kettenglied daher von den beiden tragenden Kettenteilen in eine horizontale Lage gezogen. Obwohl sich eine Kette nur unter Einfluß von Gravitation formt, ist ihre Form also nicht gewichtsabhängig! Die Gravitation bestimmt nicht die Endlage der Kette, sondern die Zeit, die sie braucht, um diese aus undefinierter Ausgangslage einzunehmen! Aus gleicher Ausgangslage braucht eine Kette auf dem Mond hierzu etwa 2,46 mal solange wie auf der Erde. Gleichsinniges gilt für Fall-Zeit eines beliebigen Gegenstandes.

Gut nachvollziehbar ist, daß die Kette "von oben" aus dem unendlichen kommt, erdnah ihren geringsten Krümmungsradius hat und danach "oben" im unendlichen verschwindet, wobei der Abstand der "himmlischen Aufhängung" sowie die Länge der Kette ihre Form bestimmen. Wenn dem so ist, dann kann die frei hängende (himmlische) Kette an jedem beliebigen Punkt fixiert werden, ohne daß sie hierbei ihre Form ändert. Wir können also die zwischen den beiden Fixierpunkten durchhängende Kette als den Ausschnitt einer riesigen Kette erachten.

... ist keine Parabel

Versucht man die Kettenlinie mit einer Parabel anzunähern, so wird man feststellen, daß keine "einfache" Parabel eine Kettenlinie in Gänze abzubilden vermag:

• Die Normal-Parabel läuft spitzer zu als die Kettenlinie.

So sich die Tief-Punkte decken, läuft die Kettenlinie zunächst "mit größerem Radius", schneidet die Normal-Parabel aber recht bald und läuft dann innerhalb der Parabel-Äste.

• Parabeln höherer Ordnung verhalten sich umgekehrt:

- Y-Werte für X < 1 schmiegen sich der X-Achse an,

- Y-Werte > 1 verlaufen innerhalb der Kettenlinie

- und nähern sich mit zunehmendem Exponenten einer Parallelen an.

Parabeln höherer Ordnung erscheinen eher "eckig" als weich!

• Die Berechnung einer guten Parabel-Näherungen ist letztendlich ähnlich komplex wie eine Kettenberechnung!

Wie hängt eine Kette?

Unstrittig ist die Form / Durchhängung einer Kette von Ihrer Länge und dem Abstand der Aufhängepunkte abhängig.

• Sind beide gleich, so ist die Durchhängung = Null. Kette bzw. Seil sind straff gespannt (dies entspricht in etwa einer Klavier- / Gitarrensaite).
• Kehren wir zurück zur "himmlischen Aufhängung".

Die beiden Kettenstränge sollen zunächst nicht verbunden sein und jeweils erdnah enden; sie werden lotrecht zum Erdmittelpunkt zeigen. Stellen wir uns vor, daß die beiden Aufhängpunkte so nahe bei einander liegen, daß der Öffnungs-Winkel zwischen Erdmittelpunkt und den Aufhängpunkten gegen Null gehe – aber nicht Null ist. Nun schließen wir die frei hängenden, erdnahen Kettenteile.

Mathematisch nicht ganz exakt - aber mental gut nachvollziehbar - wird der jeweils längste Teil der Kette weiterhin nahezu lotrecht verlaufen. Einem erdfernen Beobachter erscheint die Seitenansicht der beiden Kettenstränge für deren größten Teil "quasi parallel". Er wird ein langgestrecktes "U" erkennen, die Verrundung setzt erst sehr erdnah ein.

Dem erdfernen Beobachter erscheint es, daß sich die Kettenstränge in Richtung Aufhängung den Loten asymptotisch anschmiegten. Dem ist nicht so, Kettenstrang und Lot schneiden sich im Aufhängungspunkt!

Kettenmathematik

Mathematisch ist die Kettenlinie deutlich komplexer als "einfache" Parabeln:

Kettenform & Skalierung

Formel

Der Schnittpunkt mit der Normal-Parabel liegt für Konstante "a" = 1 bei ca. X = 3 / Y = 9

Die Ketten-Konstante "a"

• bestimmt auf den ersten Blick die Form der Kettenlinie – sie wird daher auch als Form-Konstante oder Form-Faktor bezeichnet – was nicht sehr zutreffend ist!

Wir werden im Folgenden sehen, daß alle Kettenlinien ähnlich sind – Paradox?

• Es gibt doch nahezu runde Halsketten – und wenn der Geldbeutel es zuläßt – auch lange Halsketten, es gibt "elektrische-" Hochspannungsseile, die nahezu horizontal verlaufen; es gibt Seilbahnen mit "Tal- und Bergstation"; unten läuft das Seil nahezu waagrecht, oben fast senkrecht!
• Stimmt, die Ketten sehen unterschiedlich aus, sind aber ineinander abbildbar, das Zauberwort heißt Skalierung; "a" ist also ein Skalierungs-Faktor – vergleichbar mit dem Radius "r" eines Kreises. Auch Kreise sind ähnlich – nur die Größe, der Radius ist unterschiedlich!

... ist nicht problemlos!

Beschrieben wird die Kettenlinie mit den beiden X-Werten, die bestimmen, welcher Ausschnitt der "Riesen-Kette" betrachtet wird und der Konstanten "a".

• Wenngleich die Form einer zwischen zwei Befestigungspunkten aufgehängten Kette von ihrer Länge und der Position der Befestigungspunkte abhängt, erlaubt es die Formel nicht, an Hand dieser Parameter "Durchhang & Form" einer Kette zu berechnen. Die Berechnung einer Kette ist anspruchsvoll, Goethe sagt:

Geheimnisvoll am lichten Tag läßt sich Natur des Schleiers nicht berauben,

und was sie Deinem Geist nicht offenbaren mag,

das zwingst Du ihr nicht ab, mit Hebeln und mit Schrauben.

Der Wert Y0 (Kettentiefpunkt)

• ist nicht der meßbare Kettentiefpunkt (vgl. Meß-Methoden)!
• Y0 bestimmt die Parallel-Verschiebung der Kurve noch oben/unten und wird zunächst nicht weiter betrachtet.

Der Wert X0 (Kettentiefpunkt)

• Als Graf betrachtet verschiebt X0 den betrachteten Kurvenausschnitt horizontal.
• Als Kette betrachtet erlaubt die Formel eine lebensnahe Interpretation:

- Wir können nicht nur die beiden Aufhängung parallel um X0 horizontal verschieben,

- sondern auch die Y-Werte beider Fixierpunkte gegenläufig ändern:

Der Tiefpunkt der Kette "rollt" dann (ähnlich einer Panzerkette), um den Betrag X0 in Richtung des Fixierpunktes mit abnehmendem Y-Wert. Die X-Werte beider Fixierpunkte sind hierzu konstant zu halten und deren Y-Werte gemäß Formelergebnis einzusetzen. Exakt auf der Horizontalen rollt der Tiefpunkt (bei Beibehaltung der Silhouette), wenn sich die Kettenlänge ebenfalls entsprechend ändert.

Die Länge der Kette

errechnet sich aus

Formel

• Die Formel berechnet die Kettenlänge für den einfachen Fall einer symmetrischen Aufhängung (gleiche Y-Werte beider Fixierpunkte), der Tiefpunkt liegt dann mittig und die Spannweite "w" ergibt sich aus der Differenz der X-Werte. Bei unsymmetrischer Aufhängung müssen die beiden Teilstücke zwischen Tiefpunkt und Fixierpunkt getrennt errechnet und addiert werden.

Beide Ketten-Formeln ergänzen sich gegenseitig und sind bei gegebener Konstanten "a" leicht zu berechnen; "a" ist jedoch ein rein theoretischer Wert ohne meßtechnisch erfaßbaren Bezug.

• Keine der beiden Formeln ist nach "a" auflösbar. Wir kommen also nicht umhin, die Ketten-Konstante mit schrittweiser Näherung zu suchen; moderne PC-Programme machen dies leicht, EXCEL© kennt z.B. die Funktion "Zielwertsuche".

Ermiittlung der Ketten-Konstanten

Meß-Methoden (klassisch)

• Zwar entspricht bei Y0 = 0 (vertikale Parallel-Verschiebung = 0) die Ketten-Konstante "a" exakt dem Tiefpunkt; der gemessene Y-Wert ist jedoch wertlos, denn eine unbekannte Parallel-Verschiebung (Y0 = ?) wird ggf. mitgemessen.

• Der Radius des Schmiegekreises entspricht in einem Bereich von ca. +/- 15° ebenfalls dem Wert "a". 2 mal 15° – das entspricht (man verzeihe die Metapher) in etwa "einem Stück Sacher-Torte", eine nicht unproblematische Meßbasis.

Meß-Methoden (alternativ)

Meßtechnisch wesentlich besser erfaßbar wird "a", wenn man nicht den Kettenpunkt als X/Y-Koordinate sieht, sondern von der Kette selbst ausgeht:

Die folgende Beziehung habe ich trotz intensiver Recherche in keiner Formelsammlung oder dem Internet gefunden.

• Das Glied, das unter 45° zur Horizontalen oder auch Vertikalen steht, - dessen Tangenten-Steigung also 1 beträgt – beschreibt die Ketten-Konstante mehrfach

• Liegt der Ketten-Tiefpunkt auf 0, so entspricht im 45 Grad Punkt die

Ketten-Konstante "a" der Lot-Höhe Y * (1+sqrt(2))

• Die Kettenlänge zwischen ihrem Tiefpunkt und dem 45 Grad Punkt entspricht als dimensionsloser Wert exakt ihrer Ketten-Konstante "a".

Somit kann bei einer feingliedrigen Kette "a" mit einfacher Multiplikation berechnet werden: Gezählt werden die Glieder bis zum Tiefpunkt und mit ihrer wirksamen Länge multipliziert.

Die Korrespondenz mit den mathematischen Fakultäten einiger Universitäten bestätigt zum einen die Richtigkeit meiner "Erkenntnis", zum anderen, daß dieser markante "Meß-Punkt" bisher keine Erwähnung in technischen Formelsammlungen & Kettentheorie findet. !

- Vielleicht ändert sich dies nun, es würde mich freuen

Allgemein gilt

• Steilheit einer Geraden

  m = Delta Y / Delta X 

nach den Ableitungsregeln der Differentialrechnung für "cosh" beträgt die

• Tangentensteilheit

  m = sinh (x/a)
  mit "a" als Skalierungsfaktor.

• andererseits gilt: Kettenlänge l = a (sinh (x/a))

bzw. l = a m

• Steilheit im 45° Punkt m = 1

mithin l = a bzw. a = l

ohne mathem. Herleitung vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbelfunktion gilt mit dem Hyperbel Additionstheorem cosh2(z) - sinh2(z) = 1

• für den 45° Punkt y + a = a √2

bzw. a = y (1 +√2)

Der Vollständigkeit halber, wenngleich weniger spektakulär gilt im 45° Punkt:

• "a" = 1,13453771308424 * x

"a" = 1,02678773625037 * Sehne (Tiefpunkt / Aufhängung)

• Da "a" ein Skalierungsfaktor ist, wandert der 45° Punkt auf einem Strahl, der vom Ketten-Tiefpunkt ausgehend einen Winkel von 25,17182° mit der Horizontalen bildet.

Der Skalierungsfaktor "a" ist aus Messungen "vor Ort" oder einer grafischen Forderung über den 45° Punkt also einfach ermittelbar.

Praktischen Wert hat diese Erkenntnis für Ketten und Seile mit sehr unterschiedlichen Y-Werten ihrer Aufhängung, z.B. Seilbahnen mit "Tal- und Bergstation"! Bei straf gespannten Ketten ist der 45° Punkt jedoch eher theoretischer Natur, er liegt außerhalb der Aufhängung.

Hier mein Lösungsvorschlag zur Berechnung von "a" aus

• dem X-Wert (X = Aufhängung – Scheitelwert) und
• dem sich im Aufhängpunkt gegen die Horizontale einstellenden Winkel.

• Der Winkel im Aufhängpunkt bestimmt dessen Tangens.
• Bekannt ist die Tangentensteilheit der Kettenlinie m = sinh (x/a)
• Weniger bekannt ist die Umkehrfunktion von "sinh (x)",

- dies mag daran liegen, daß hierfür mehrerer Abkürzungen gebräuchlich sind. Gleichbedeutend sind: arcsinh (x), argsinh (x), arsinh (x), asinh (x), sinh−1 (x), Sie werden auch als Arcus- oder Area-Funktion bezeichnet.

Das meinerseits geliebte Excel® verwendet hierfür ARCSINHYP; - zum Verständnis der Umkehrfunktion: ArcSinHyp(SinHyp(Zahl)) = Zahl

Hieraus folgt ArcSinHyp(Tan(Winkel)) = X / a bzw. a = X / ArcSinHyp(Tan(Winkel))

• Die Ketten-Konstante "a" ist also aus beliebigen x-Koordinaten und dem sich hier eingestellten Winkel exakt meß- und berechenbar.
• Die angegebene Formel verwendet den X-Wert vs. Tiefpunkt sowie eine Winkelmessung vs. der Horizontalen im 1. Quadranten.

Kettenlinie & Architektur

Setzen wir "a" mit negativem Vorzeichen ein, so spiegelt sich die Kurve an der X-Achse – und bildet einen Bogen. Analog zur Kette, die nur Zug-Kräfte kennt, treten in diesem Bogen nur gleichmäßige Druck-Kräfte längs der Bogenlinie aus dem Eigengewicht des Materials auf. Architektonisch ist dies die materialeffizienteste, optimale Bauform eines Bogens.

Vielleicht wird das Phänomen der Kettenlinie am Bogen deutlicher als an der Kette selbst: Wird ein elastischer Stab gebogen, so treten außen Zug-Kräfte, innen Druck-Kräfte auf; in der Mitte verläuft die neutrale Phase. Bei einem Bogen, der der Kettenlinie folgt gibt es nur Druckkräfte in Richtung der eigenen Bogenlinie. Aus einzelnen Steinen, ohne Mörtel erbaut würde dieser Bogen stabil stehen!

Teil 2

wird noch etwas auf sich warten lassen, ich habe derzeit die "Inverse Kinematik" im Arbeitsfokus. Zwar gibt es Voruntersuchungen zur Approximation einer Kettenlinie mit Bézier, diese müssen jedoch zurückstehen.

Entschlossen habe ich mich, Teil 1 vorab zu veröffentlichen, da die Erkenntnisse hier seit Jahren "schlummern".