Getriebe: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. März 2009, 09:12 Uhr

Dieser Artikel ist noch lange nicht vollständig. Der Auto/Initiator hofft das sich weitere User am Ausbau des Artikels beteiligen.

Das Ergänzen ist also ausdrücklich gewünscht! Besonders folgende Dinge würden noch fehlen:

Was ist die Modulgrösse und wie ermittelt man sie?

Mathematische Grundlagen

Übersetzungsfaktor

Der Übersetzungsfaktor [math]i[/math] beschreibt das Zähnezahlenverhältnis, Durchmesser oder Drehmomentenverhältnis und das Drehzahlenverhältni [math]s^{-1}[/math]. Um Unklarheiten vorzubeugen haben sich aber die Begriffe Untersetzung für Drehzahlenänderungen ins Langsame (antreibendes Rad dreht schneller) und Übersetzung für Drehzahlenänderungen ins Schnelle (antreibendes Rad dreht langsamer) durchgesetzt.

Drehzahl

Da bei Zahnradgetrieben die Umfangsgeschwindigkeiten [math]U[/math] der beiden ineinander greifenden Zahnräder gleich groß sein müssen, lässt sich die Übersetzung durch Gleichsetzen der Gleichungen für die Umfangsgeschwindigkeiten errechnen:

[math] U_\mathrm{1}=w_\mathrm{1} \cdot r_\mathrm{1} [/math]

[math] r_\mathrm{1}=z_\mathrm{1} \cdot m [/math]

[math] U_\mathrm{2}=w\cdot r_\mathrm{2} [/math]

[math] r_\mathrm{2}=z_\mathrm{2}\cdot m [/math]

Einsetzen in die Gleichung:

[math] U_\mathrm{1}=U_\mathrm{2} [/math]

[math] w_\mathrm{1} \cdot m \cdot z_\mathrm{1}=w_\mathrm{2} \cdot m \cdot z_\mathrm{2} [/math]

der Modul [math]m[/math] muss bei beiden Zahnrädern gleich groß sein und kann daher gekürzt werden

[math] \frac{w_\mathrm{1}}{w_\mathrm{2}}=\frac{z_\mathrm{2}}{z_\mathrm{1}} [/math]

Statt der Winkelgeschwindigkeit [math]w[/math] können wir auch die Drehzahl [math] n [/math] einsetzen, da zwischen [math]w[/math] und [math]n[/math] nur der konstante Faktor [math]2pi[/math] steht, der ebenfalls gekürzt wird.

[math] \frac{n_\mathrm{1}}{n_\mathrm{2}}=\frac{z_\mathrm{2}}{z_\mathrm{1}} [/math]

Drehmomente

Die über ein Getriebe übertragene Leistung [math]P[/math] ist in erster Näherung konstant (bis auf den Wirkungsgrad), deshalb kann [math] P=M \cdot w [/math] auf die Leistung gleichgesetzt werden. (eine andere Möglichkeit zur Herleitung geht über das Hebelgesetz und über den Ansatz, dass beide Umfangskräfte gleich groß sein müssen)

[math] P_\mathrm{ein}=P_\mathrm{aus}[/math]

[math] M_\mathrm{ein} \cdot w_\mathrm{ein}=M_\mathrm{aus} \cdot w_\mathrm{aus} [/math]

Komplexere Getriebe

Einfache Getriebe lassen sich mit den bis jetzt beschriebenen Formeln gut handhaben, bei Umlaufgetrieben stoßen diese aber sehr schnell an ihre Grenzen. Der sogenannte Kurzbachplan hilft hierbei:

Anwendung des Kurzbachplanes auf ein Planetengetriebe

Jedes Planetengetriebe lässt sich in Sonnenrad (S rot), Planetenrad (P grün), Planetenträger (PT orange) und Hohlrad (H blau) zerlegen. Neben das maßstäblich gezeichnete Getriebe werden nun in ein Koordinatensystem bekannte Umfangsgeschwindigkeiten vorgegebener Punkte eingetragen (rote Punkte), diese sind entweder Null (am stehenden Hohlrad und im Zentrum der Antriebswelle)) oder aus Radius und Drehzahl berechenbar (Sonnenrad). Jetzt werden diese Punkte miteinander verbunden, und aus den Schnittpunkten dieser Linie der Achse des Planetenrades (=Radius des Planetenträgers) lässt sich nun die Drehzahl des Planetenträgers berechnen (=Abtrieb). Gezeichnete Beziehungen lassen sich auch mathematisch mit dem Strahlensatz und der zuvor kennengelernten Gleichung für [math]U[/math] ausdrücken und auf ein [math]n_\mathrm{ges}[/math] zusammenfassen.

Getriebe selbst entwerfen

Der Modul [math] m [/math]

da zwischen Durchmesser und Umfang immer die unendlich ungenaue Kreiszahl Pi steht, hat man den Quotienten aus Umfang [math] u [/math] und Zähnezahl [math] z[/math] als Normkriterium herangezogen.

[math] m=\frac{dm}{z} =\frac{da}{z+2} [/math] da...Außendurchmesser dm...Teilkreisdurchmesser

Leider lässt sich der Modul nicht ohne tabellarisch aufbereitete Korrekturfaktoren bestimmen, und ist somit für den Hobbybastler rechnerisch kaum handhabbar. Hersteller wie Mädler bieten auf ihren Webseiten eine umfangreiche Auswahl an verschiedenden Zahnrädern an und weisen auch deren maximal zulässige Drehmomente aus. Sollte man ein Zahnrad mit bekannter Geometrie auf diesen Seiten einmal nicht finden, lassen sich die Drehmomente, gleiches Material vorausgesetzt, direkt proportional mit der Breite eines ausgewiesenen Zahnrades skalieren. Sollte sich immer noch kein ähnliches Zahnrad finden, kann zwischen zwei Durchmessern linear interpoliert werden, wobei die hier auftretenden Unschärfen in einer großzügiger bemessenen Sicherheit zu berücksichtigen sind. Von Modul zu Modul kann NICHT interpoliert werden (quadratische Interpolation führt zu einem Ergebnis, das aber nur noch als Schätzwert zu gebrauchen ist)

Achsabstände

Das größte Problem bei selbstgebauten Getrieben ist die Bestimmung der Achsabstände. Zu weite Abstände verursachen zum Einen Schäden an den Zähnen und zu kurze Abstände sorgen dafür, dass sich das Getriebe, wenn überhaupt, nur schwer drehen lässt und auch schneller verschleißen kann.

Zahnräder in Modulgrösse 1 und Modulgrösse 0,5

Ein wichtiger Parameter, welcher zur Berechnung der Achsabstände benötigt wird, ist die Modulgröße, auch Modulzahl genannt.

Für Zahnräder mit unbekannter Modulgröße gibt es Zahnradlehren, welche das Ermitteln des Moduls erleichtern, ohne raten zu müssen

Der Abstand der Zahnradachsen lässt sich wie folgt ermitteln:

  Anzahl der beiden Zahnradzähne zusammenzählen,
  davon dann die Hälfte mit der Modulzahl multiplizieren.
  
  (Z1 + Z2) / 2 * Modulzahl = Achsabstand

  Beispiel: 
     Zahnrad1 = 50 Zähne, Zahnrad2 = 10 Zähne jeweils Modul 0,5
     50 + 10 = 60 / 2 = 30 * 0,5 = 15
     Achsabstand = 15mm

Getriebebox

mein eigener Entwurf der TwinMotor-Gearbox

Getriebebox, teildemontiert

Mein erstes selbstgebautes Getriebe, die TwinMotor-Gearbox

Die Wellen (Achsen) sind natürlich nicht mit beiden Hälften verbunden. Ein Messingrohr (D=3mm/2mm), in welches ein Messingstab (d=2mm) eingelötet wurde und als "Zapfwelle" zusammengesteckt, sollten viel Platz sparen.

Leider ist der Reibungswiderstand etwas hoch geworden, sodass die Motoren nur unrund laufen und mit steigender Betriebsdauer (Temperatur) immer mehr Kraft benötigen (der gut schmiert...).

Aber für den ersten Aufbau dieser Art dennoch ein gutes Ergebnis. Für Bastler mit weniger Kenntnissen gibt es inzwischen auch Bausätze für ganz ähnliche Getriebemotoren. Beispielsweise der TwinMotor:

Tamiya Bausatz mit unterschiedlichen Untersetzungen

Die nächste Eigenversion wird dann doch noch richtig gelagert werden müssen, Sinter- oder Kugel-/Rollen-Lager steht noch nicht fest.

Weitere Arten von Getrieben

HD-Getriebe

Harmonic Drive Getriebe bestehen aus drei Hauptkomponenten:

Circular Spline - ein zylindrischer Ring mit Innenverzahnung
Flex Spline - ein flexibler Ring mit Außenverzahnung
Wave Generator - eine ovale Scheibe

Der Wave Generator verformt die Flex Spline so, dass deren Zähne in die Innenverzahnung des Circular Spline greifen. Wird nun der Wave Generator gedreht, verformt sich die Flex Spline und durch die Zahndifferenz zwischen Flex Spline und Circular Spline wandert die Flex Spline pro Umdrehung um zwei Zähne weiter. Die so erzielten Übersetzungen reichen von 1:30 bis 1:320 in einer Stufe.

Eigenschaften:

nahezu spielfrei
geringe Trägheit
hohe Wirkungsgrade
nicht selbsthemmend
(teuer)
sehr torsionssteif

www.harmonicdrive.de

Spindelgetriebe

Bei Manipulatoren oder Greifern werden in den Gelenken ebenfalls sehr hohe Untersetzungen benötigt, um die Motordrehzahl auf eine vernünftige Handhabungsgeschwindigkeit zu reduzieren. Eine sehr einfache Lösung bieten Gewindespindel-/Mutter-Kombinationen, wobei hier nur Drehwinkel von unter 170° realisiert werden können.

Vorteile:

Sehr hohe Kräfte und Momente können aufgebracht werden
günstig
einfacher Aufbau

Nachteil:

kein linearer Zusammenhang zwischen Motordrehwinkel und Drehwinkel des Gelenkes
Umkehrspiel

Autor

Darwin.nuernberg 17:55, 5. Mär 2006 (CET)
user52920:51, 25. Juni

Siehe auch

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 == Mathematische Grundlagen ==
 === Übersetzungsfaktor ===
-Der Übersetzungsfaktor <math>n</math> beschreibt das Zähnezahlenverhältnis, Durchmesser oder Drehmomentenverhältnis und das Drehzahlenverhältni <math>s^{-1}</math>. Um Unklarheiten vorzubeugen haben sich aber die Begriffe Untersetzung für Drehzahlenänderungen ins langsame (antreibendes Rad dreht schneller) und Übersetzung für Drehzahlenänderungen ins schnelle (antreibendes Rad dreht langsamer) durchgesetzt.
+Der Übersetzungsfaktor <math>i</math> beschreibt das Zähnezahlenverhältnis, Durchmesser oder Drehmomentenverhältnis und das Drehzahlenverhältni <math>s^{-1}</math>. Um Unklarheiten vorzubeugen haben sich aber die Begriffe Untersetzung für Drehzahlenänderungen ins Langsame (antreibendes Rad dreht schneller) und Übersetzung für Drehzahlenänderungen ins Schnelle (antreibendes Rad dreht langsamer) durchgesetzt.
 ===Drehzahl===
-Da bei Zahnradgetrieben die Umfangsgeschwindigkeiten <math>U</math> beider ineinander greifenden Zahnräder gleich groß sein müssen, lässt sich die Übersetzung durch Gleichsetzen der Gleichungen für die Umfangsgeschwindigkeiten errechnen:
+Da bei Zahnradgetrieben die Umfangsgeschwindigkeiten <math>U</math> der beiden ineinander greifenden Zahnräder gleich groß sein müssen, lässt sich die Übersetzung durch Gleichsetzen der Gleichungen für die Umfangsgeschwindigkeiten errechnen:
 <math>
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 ===Drehmomente===
-Die über ein Getriebe übertragene Leistung <math>P</math> ist in erster Näherung konstant (bis auf den Wirkungsgrad), deshalb kann <math> P=M \cdot w </math> auf die Leistung gleichgesetzt werden. (eine andere Möglichkeit zur Herleitung geht über das Hebelgesetz, und über den Ansatz dass beide Umfangskräfte gleich groß sein müssen)
+Die über ein Getriebe übertragene Leistung <math>P</math> ist in erster Näherung konstant (bis auf den Wirkungsgrad), deshalb kann <math> P=M \cdot w </math> auf die Leistung gleichgesetzt werden. (eine andere Möglichkeit zur Herleitung geht über das Hebelgesetz und über den Ansatz, dass beide Umfangskräfte gleich groß sein müssen)
 <math> P_\mathrm{ein}=P_\mathrm{aus}</math>
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 ===Komplexere Getriebe===
-Einfache Getriebe lassen sich mit den bis jetzt beschriebenen Formeln gut handhaben, bei Umlaufgetrieben stoßen diese aber sehr schnell an ihre Grenzen. Der so genannte Kurzbachplan hilft hierbei:
+Einfache Getriebe lassen sich mit den bis jetzt beschriebenen Formeln gut handhaben, bei Umlaufgetrieben stoßen diese aber sehr schnell an ihre Grenzen. Der sogenannte Kurzbachplan hilft hierbei:
 [[Bild:Kurzbachplan.JPG|right|framed|Anwendung des Kurzbachplanes auf ein Planetengetriebe]]
-Jedes Planetengetriebe lässt sich in Sonnenrad (S rot) Planetenrad (P grün) Planetenträger (PT orange) und Hohlrad (H blau) zerlegen. Neben das maßstäblich gezeichnete Getriebe werden nun in ein Koordinatensystem bekannte Umfangsgeschwindigkeiten vorgegebener Punkte eingetragen (rote Punkte), diese sind entweder Null (am stehenden Hohlrad und im Zentrum der Antriebswelle)) oder aus Radius und Drehzahl berechenbar (Sonnenrad). Jetzt werden diese Punkte miteinander verbunden, und aus den Schnittpunkten dieser Linie der Achse des Planetenrades (=Radius des Planetenträgers) lässt sich nun die Drehzahl des Planetenträgers berechnen (=Abtrieb). Gezeichnete Beziehungen lassen sich auch mathematisch mit dem Strahlensatz und der zuvor kennen gelernten Gleichung für <math>U</math> ausdrücken und auf ein <math>n_\mathrm{ges}</math> zusammenfassen.
+Jedes Planetengetriebe lässt sich in Sonnenrad (S rot), Planetenrad (P grün), Planetenträger (PT orange) und Hohlrad (H blau) zerlegen. Neben das maßstäblich gezeichnete Getriebe werden nun in ein Koordinatensystem bekannte Umfangsgeschwindigkeiten vorgegebener Punkte eingetragen (rote Punkte), diese sind entweder Null (am stehenden Hohlrad und im Zentrum der Antriebswelle)) oder aus Radius und Drehzahl berechenbar (Sonnenrad). Jetzt werden diese Punkte miteinander verbunden, und aus den Schnittpunkten dieser Linie der Achse des Planetenrades (=Radius des Planetenträgers) lässt sich nun die Drehzahl des Planetenträgers berechnen (=Abtrieb). Gezeichnete Beziehungen lassen sich auch mathematisch mit dem Strahlensatz und der zuvor kennengelernten Gleichung für <math>U</math> ausdrücken und auf ein <math>n_\mathrm{ges}</math> zusammenfassen.
-Möge sich jemand meiner Schlechtschreibfehler annehmen; werde morgen (und wenn nit dann, dann irgendwann)  weiter schreiben, mfg Clemens
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 da zwischen Durchmesser und Umfang immer die unendlich ungenaue Kreiszahl Pi steht, hat man den Quotienten aus Umfang <math> u </math> und Zähnezahl <math> z</math> als Normkriterium herangezogen.
-<math> m=\frac{d}{z} </math>
+<math> m=\frac{dm}{z} =\frac{da}{z+2} </math>
+da...Außendurchmesser
+dm...Teilkreisdurchmesser
 Leider lässt sich der Modul nicht ohne tabellarisch aufbereitete Korrekturfaktoren bestimmen, und ist somit für den Hobbybastler rechnerisch kaum handhabbar.
-Hersteller wie [http://www.maedler.de/katalog_de/katalog/n_a01b41.htm#Zahnräder Mädler] bieten auf ihren Webseiten eine umfangreiche Auswahl an verscheidenden Zahnrädern an und weisen auch deren maximal zulässige Drehmomente aus. Sollte man ein Zahnrad mit bekannter Geometrie auf diesen Seiten einmal nicht finden, lassen sich die Drehmomente, gleiches Material vorausgesetzt, direktproportional mit der Breite eines ausgewiesenen Zahnrades skalieren. Sollte sich immer noch kein ähnliches Zahnrad finden, kann zwischen zwei Durchmessern linear interpoliert werden, wobei die hier auftretenden Unschärfen in einer großzügiger bemessenen Sicherheit zu berücksichtigen sind. Von Modul zu Modul kann NICHT interpoliert werden (quadratische Interpolation führt zu einem Ergebnis das aber nur noch als Schätzwert zu gebrauchen ist)
+Hersteller wie [http://www.maedler.de/katalog_de/katalog/n_a01b41.htm#Zahnräder Mädler] bieten auf ihren Webseiten eine umfangreiche Auswahl an verschiedenden Zahnrädern an und weisen auch deren maximal zulässige Drehmomente aus. Sollte man ein Zahnrad mit bekannter Geometrie auf diesen Seiten einmal nicht finden, lassen sich die Drehmomente, gleiches Material vorausgesetzt, direkt proportional mit der Breite eines ausgewiesenen Zahnrades skalieren. Sollte sich immer noch kein ähnliches Zahnrad finden, kann zwischen zwei Durchmessern linear interpoliert werden, wobei die hier auftretenden Unschärfen in einer großzügiger bemessenen Sicherheit zu berücksichtigen sind. Von Modul zu Modul kann NICHT interpoliert werden (quadratische Interpolation führt zu einem Ergebnis, das aber nur noch als Schätzwert zu gebrauchen ist)
 === Achsabstände ===
 Das größte Problem bei selbstgebauten Getrieben ist die Bestimmung der Achsabstände.
-Zu weite Abstände verursachen zum Einen Schäden an den Zähnen und zu kurze Abstände sorgen dafür, dass sich das Getriebe, wenn überhaupt, nur schwer drehen lässt und auch schneller verschleissen kann.
+Zu weite Abstände verursachen zum Einen Schäden an den Zähnen und zu kurze Abstände sorgen dafür, dass sich das Getriebe, wenn überhaupt, nur schwer drehen lässt und auch schneller verschleißen kann.
 [[Bild:Zahnräder_Module.jpg|thumb|Zahnräder in Modulgrösse 1 und Modulgrösse 0,5]]
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 Aber für den ersten Aufbau dieser Art dennoch ein gutes Ergebnis.
-Für Bastler mit weniger Kentnissen gibt es inzwischen auch Bausätze für ganz ähnliche Getriebemotoren. Beispielsweise der TwinMotor:
+Für Bastler mit weniger Kenntnissen gibt es inzwischen auch Bausätze für ganz ähnliche Getriebemotoren. Beispielsweise der TwinMotor:
 [[Bild:twinmotorgroesse.gif|center|framed|Tamiya Bausatz mit unterschiedlichen Untersetzungen]]
 Die nächste Eigenversion wird dann doch noch richtig gelagert werden müssen, Sinter- oder Kugel-/Rollen-Lager steht noch nicht fest.
+==Weitere Arten von Getrieben==
+===HD-Getriebe===
+Harmonic Drive Getriebe bestehen aus drei Hauptkomponenten:
+*Circular Spline - ein zylindrischer Ring mit Innenverzahnung
+*Flex Spline - ein flexibler Ring mit Außenverzahnung
+*Wave Generator - eine ovale Scheibe
+Der Wave Generator verformt die Flex Spline so, dass deren Zähne in die Innenverzahnung des Circular Spline greifen. Wird nun der Wave Generator gedreht, verformt sich die Flex Spline und durch die Zahndifferenz zwischen Flex Spline und Circular Spline wandert die Flex Spline pro Umdrehung um zwei Zähne weiter. Die so erzielten Übersetzungen reichen von 1:30 bis 1:320 in einer Stufe.
+Eigenschaften:
+*nahezu spielfrei
+*geringe Trägheit
+*hohe Wirkungsgrade
+*nicht selbsthemmend
+*(teuer)
+*sehr torsionssteif
+www.harmonicdrive.de
+===Spindelgetriebe===
+Bei Manipulatoren oder Greifern werden in den Gelenken ebenfalls sehr hohe Untersetzungen benötigt, um die Motordrehzahl auf eine vernünftige Handhabungsgeschwindigkeit zu reduzieren. Eine sehr einfache Lösung bieten Gewindespindel-/Mutter-Kombinationen, wobei hier nur Drehwinkel von unter 170° realisiert werden können.
+Vorteile:
+*Sehr hohe Kräfte und Momente können aufgebracht werden
+*günstig
+*einfacher Aufbau
+Nachteil:
+*kein linearer Zusammenhang zwischen Motordrehwinkel und Drehwinkel des Gelenkes
+*Umkehrspiel
 ===Autor===