| Dieser Artikel ist noch lange nicht vollständig. Der Auto/Initiator hofft das sich weitere User am Ausbau des Artikels beteiligen.
Das Ergänzen ist also ausdrücklich gewünscht! Besonders folgende Dinge würden noch fehlen: Was ist die Modulgrösse und wie ermittelt man sie? |
Inhaltsverzeichnis
Mathematische Grundlagen
Übersetzungsfaktor
Der Übersetzungsfaktor [math]i[/math] beschreibt das Zähnezahlenverhältnis, Durchmesser oder Drehmomentenverhältnis und das Drehzahlenverhältni [math]s^{-1}[/math]. Um Unklarheiten vorzubeugen haben sich aber die Begriffe Untersetzung für Drehzahlenänderungen ins langsame (antreibendes Rad dreht schneller) und Übersetzung für Drehzahlenänderungen ins schnelle (antreibendes Rad dreht langsamer) durchgesetzt.
Drehzahl
Da bei Zahnradgetrieben die Umfangsgeschwindigkeiten [math]U[/math] beider ineinander greifenden Zahnräder gleich groß sein müssen, lässt sich die Übersetzung durch Gleichsetzen der Gleichungen für die Umfangsgeschwindigkeiten errechnen:
[math] U_\mathrm{1}=w_\mathrm{1} \cdot r_\mathrm{1} [/math]
[math] r_\mathrm{1}=z_\mathrm{1} \cdot m [/math]
[math] U_\mathrm{2}=w\cdot r_\mathrm{2} [/math]
[math] r_\mathrm{2}=z_\mathrm{2}\cdot m [/math]
Einsetzen in die Gleichung:
[math] U_\mathrm{1}=U_\mathrm{2} [/math]
[math] w_\mathrm{1} \cdot m \cdot z_\mathrm{1}=w_\mathrm{2} \cdot m \cdot z_\mathrm{2} [/math]
der Modul [math]m[/math] muss bei beiden Zahnrädern gleich groß sein und kann daher gekürzt werden
[math]
\frac{w_\mathrm{1}}{w_\mathrm{2}}=\frac{z_\mathrm{2}}{z_\mathrm{1}}
[/math]
Statt der Winkelgeschwindigkeit [math]w[/math] können wir auch die Drehzahl [math] n [/math] einsetzen, da zwischen [math]w[/math] und [math]n[/math] nur der konstante Faktor [math]2pi[/math] steht, der ebenfalls gekürzt wird.
[math] \frac{n_\mathrm{1}}{n_\mathrm{2}}=\frac{z_\mathrm{2}}{z_\mathrm{1}} [/math]
Drehmomente
Die über ein Getriebe übertragene Leistung [math]P[/math] ist in erster Näherung konstant (bis auf den Wirkungsgrad), deshalb kann [math] P=M \cdot w [/math] auf die Leistung gleichgesetzt werden. (eine andere Möglichkeit zur Herleitung geht über das Hebelgesetz, und über den Ansatz dass beide Umfangskräfte gleich groß sein müssen)
[math] P_\mathrm{ein}=P_\mathrm{aus}[/math]
[math] M_\mathrm{ein} \cdot w_\mathrm{ein}=M_\mathrm{aus} \cdot w_\mathrm{aus} [/math]
Komplexere Getriebe
Einfache Getriebe lassen sich mit den bis jetzt beschriebenen Formeln gut handhaben, bei Umlaufgetrieben stoßen diese aber sehr schnell an ihre Grenzen. Der so genannte Kurzbachplan hilft hierbei:
Jedes Planetengetriebe lässt sich in Sonnenrad (S rot) Planetenrad (P grün) Planetenträger (PT orange) und Hohlrad (H blau) zerlegen. Neben das maßstäblich gezeichnete Getriebe werden nun in ein Koordinatensystem bekannte Umfangsgeschwindigkeiten vorgegebener Punkte eingetragen (rote Punkte), diese sind entweder Null (am stehenden Hohlrad und im Zentrum der Antriebswelle)) oder aus Radius und Drehzahl berechenbar (Sonnenrad). Jetzt werden diese Punkte miteinander verbunden, und aus den Schnittpunkten dieser Linie der Achse des Planetenrades (=Radius des Planetenträgers) lässt sich nun die Drehzahl des Planetenträgers berechnen (=Abtrieb). Gezeichnete Beziehungen lassen sich auch mathematisch mit dem Strahlensatz und der zuvor kennen gelernten Gleichung für [math]U[/math] ausdrücken und auf ein [math]n_\mathrm{ges}[/math] zusammenfassen.
Getriebe selbst entwerfen
Der Modul [math] m [/math]
da zwischen Durchmesser und Umfang immer die unendlich ungenaue Kreiszahl Pi steht, hat man den Quotienten aus Umfang [math] u [/math] und Zähnezahl [math] z[/math] als Normkriterium herangezogen.
[math] m=\frac{dm}{z} =\frac{da}{z+2} [/math] da...Außendurchmesser dm...Teilkreisdurchmesser
Leider lässt sich der Modul nicht ohne tabellarisch aufbereitete Korrekturfaktoren bestimmen, und ist somit für den Hobbybastler rechnerisch kaum handhabbar. Hersteller wie Mädler bieten auf ihren Webseiten eine umfangreiche Auswahl an verscheidenden Zahnrädern an und weisen auch deren maximal zulässige Drehmomente aus. Sollte man ein Zahnrad mit bekannter Geometrie auf diesen Seiten einmal nicht finden, lassen sich die Drehmomente, gleiches Material vorausgesetzt, direktproportional mit der Breite eines ausgewiesenen Zahnrades skalieren. Sollte sich immer noch kein ähnliches Zahnrad finden, kann zwischen zwei Durchmessern linear interpoliert werden, wobei die hier auftretenden Unschärfen in einer großzügiger bemessenen Sicherheit zu berücksichtigen sind. Von Modul zu Modul kann NICHT interpoliert werden (quadratische Interpolation führt zu einem Ergebnis das aber nur noch als Schätzwert zu gebrauchen ist)
Achsabstände
Das größte Problem bei selbstgebauten Getrieben ist die Bestimmung der Achsabstände. Zu weite Abstände verursachen zum Einen Schäden an den Zähnen und zu kurze Abstände sorgen dafür, dass sich das Getriebe, wenn überhaupt, nur schwer drehen lässt und auch schneller verschleißen kann.
Ein wichtiger Parameter, welcher zur Berechnung der Achsabstände benötigt wird, ist die Modulgröße, auch Modulzahl genannt.
Für Zahnräder mit unbekannter Modulgröße gibt es Zahnradlehren, welche das Ermitteln des Moduls erleichtern, ohne raten zu müssen
Der Abstand der Zahnradachsen lässt sich wie folgt ermitteln:
Anzahl der beiden Zahnradzähne zusammenzählen, davon dann die Hälfte mit der Modulzahl multiplizieren. (Z1 + Z2) / 2 * Modulzahl = Achsabstand
Beispiel:
Zahnrad1 = 50 Zähne, Zahnrad2 = 10 Zähne jeweils Modul 0,5
50 + 10 = 60 / 2 = 30 * 0,5 = 15
Achsabstand = 15mm
Getriebebox
Mein erstes selbstgebautes Getriebe, die TwinMotor-Gearbox
Die Wellen (Achsen) sind natürlich nicht mit beiden Hälften verbunden. Ein Messingrohr (D=3mm/2mm), in welches ein Messingstab (d=2mm) eingelötet wurde und als "Zapfwelle" zusammengesteckt, sollten viel Platz sparen.
Leider ist der Reibungswiderstand etwas hoch geworden, sodass die Motoren nur unrund laufen und mit steigender Betriebsdauer (Temperatur) immer mehr Kraft benötigen (der gut schmiert...).
Aber für den ersten Aufbau dieser Art dennoch ein gutes Ergebnis. Für Bastler mit weniger Kentnissen gibt es inzwischen auch Bausätze für ganz ähnliche Getriebemotoren. Beispielsweise der TwinMotor:
Die nächste Eigenversion wird dann doch noch richtig gelagert werden müssen, Sinter- oder Kugel-/Rollen-Lager steht noch nicht fest.
Autor
- Darwin.nuernberg 17:55, 5. Mär 2006 (CET)
- user52920:51, 25. Juni
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